Question

20．如圖：在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=AD，∠B=2∠E．
（1）求證：四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）若∠B=60°，AB=4，求邊BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形，由此需證∠B=∠BCD：先證明四邊形ADEC是平行四邊形，得∠ACB=∠E，再證明∠ACB=∠ACD，得：∠BCD=2∠ACB，由
∠B=2∠E得∠B=∠BCD．
（2）先證明△ABC是直角三角形，再由勾股定理求解．

解答 （1）證明：∵AD∥CE，CE=AD
∴四邊形ADEC是平行四邊形
（一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形），
∴AC∥DE
∴∠ACB=∠E
∵CA平分∠BCD
∴∠ACB=∠ACD
即：∠BCD=2∠ACB
∵∠B=2∠E
∴∠B=∠BCD
∵四邊形ABCD是梯形
∴四邊形ABCD是等腰梯形
（2）解：∵∠B=60°
∴∠BCD=60°
∴∠ACB=30°
在△ABC中，∠B+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠BAC=90°
∴$AB=\frac{1}{2}BC$
∵AB=4
∴BC=8

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰梯形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的判定方法與性質(zhì)．