Question

【題目】如圖，以AB為直徑作半圓O，點C是半圓上一點，∠ABC的平分線交⊙O于E，D為BE延長線上一點，且DE＝FE．

（1）求證：AD為⊙O切線；

（2）若AB＝20，tan∠EBA＝，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）先利用角平分線定義、圓周角定理證明∠4＝∠2，再利用AB為直徑得到∠2+∠BAE＝90°，則∠4+∠BAE＝90°，然后根據(jù)切線的判定方法得到AD為⊙O切線；

（2）解：根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，設(shè)AE＝3k，BE＝4k，則AB＝5k＝20，求得AE＝12，BE＝16，連接OE交AC于點G，如圖，解直角三角形即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∵AB為直徑，

∴AE⊥BD，

∵DE＝FE，

∴∠3＝∠4，

∵∠1＝∠3，

∴∠4＝∠2，

∵AB為直徑，

∴∠AEB＝90°，

∵∠2+∠BAE＝90°

∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°，

∴AD⊥AB，

∴AD為⊙O切線；

（2）解：∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵tan∠EBA＝，

∴設(shè)AE＝3k，BE＝4k，則AB＝5k＝20，

∴AE＝12，BE＝16，

連接OE交AC于點G，如圖，

∵∠1＝∠2，

∴，

∴OE⊥AC，

∵∠3＝∠2，

∴tan∠EBA＝tan∠3＝，

∴設(shè)AG＝4x，EG＝3x，

∴AE＝5x＝12，

∴x＝，

∴AG＝，

∵OG∥BC，

∴AC＝2AG＝，

∴BC＝＝．