Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在y正半軸上，OC在x正半軸上，點D是線段OC上一點，過點D作DE⊥AD交直線BC于點E，以A、D、E為頂點作矩形ADEF．
（1）求證：△AOD∽△DCE；
（2）若點A坐標為（0，4），點C坐標為（7，0）．
①當點D的坐標為（5，0）時，拋物線y=ax²+bx+c過A、F、B三點，求點F的坐標及a、b、c的值；
②若點D（k，0）是線段OC上任意一點，點F是否還在①中所求的拋物線上？如果在，請說明理由；如果不在，請舉反例說明；
（3）若點A的坐標是（0，m），點C的坐標是（n，0），當點D在線段OC上運動時，是否也存在一條拋物線，使得點F都落在該拋物線上？若存在，請直接用含m、n的代數(shù)式表示該拋物線；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，以及∠OAD=∠EDC，即可得出△AOD∽△DCE；
（2）由△AOD∽△DCE，得出CE=，CD=2，進而求HF的長，利用A（0，4）、F（2，）、B（7，4），求出二次函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)②式中，直接將A，C點的坐標代入即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC，
∴△AOD∽△DCE；

（2）解：①過F作FH⊥OC交OC于H，交AB于N，
由題意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5
∵△AOD∽△DCE，
∴，
即，
∴CE=，CD=2
∵四邊形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°，
∴∠OAD=∠BAF，
∴∠EDC=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC，
∴AN=DC=2，F(xiàn)N=EC=，
∴FH=
∴F點的坐標是（2，），
由A（0，4）、F（2，）、B（7，4），
得，
解得，
∴過A、F、B三點的拋物線的表達式為：；

②點F在①中所求的拋物線上．
理由是：由（2）中①可知，
拋物線的表達式為：，
當D（k，0）時，則DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC
求得：F（7-k，），
將x=7-k代入得，，
又
所以點F在①中所求的拋物線上．

（3）解：存在一條拋物線，使得點F都落在該拋物線上．
該拋物線的表達式為：．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的性質(zhì)．