Question

已知：如圖，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C點為圓心，作一個動圓，與線段AD交于點P（P和A、D不重合），過P作⊙C的切線交線段AB于F點.

（1）求證：△CDP∽△PAF；

（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，及自變量的取值范圍；

（3）是否存在這樣的點P，使△APF沿PF翻折后，點A落在BC上，請說明理由.

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）y=-x2+x（0＜x＜3）（3）不存在．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用切線的性質(zhì)得出∠1+∠2=90°，進而利用矩形的性質(zhì)求得出∠2=∠3，進而得出△CDP∽△PAF；

（2）利用△CDP∽△PAF，得出，進而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）設(shè)△AFP下翻后落在BC邊上的點為Q，利用已知首先判定△QPC為等腰三角形，再利用QC=QP=AP=3-x，利用勾股定理求出關(guān)于x的一元二次方程進而得出答案．

試題解析：（1）證明：∵過P作⊙C的切線交線段AB于F點，

∴CP⊥FP，

∴∠1+∠2=90°，

∵在矩形ABCD中，

∴∠D=∠A=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△CDP∽△PAF；

（2）【解析】
∵△CDP∽△PAF，

∴，

∵DP=x，AF=y，

∴，

∴y=-x2+x（0＜x＜3）

（3）證明：設(shè)△AFP下翻后落在BC邊上的點為Q，

∵△AFP≌△QFP，

∴QF=AF=y，∠QPF=∠APF．

由PF是圓的切線可知：∠QPF+∠DPC=90°，∠QPF+∠QPC=90°．

∴∠QPC=∠DPC．

又∵∠DPC=∠PCQ，

∴△QPC為等腰三角形，

∴QC=QP=AP=3-x，則BQ=x．

在△FBQ中，F(xiàn)B=2-y，BQ=x，F(xiàn)Q=y

x2+（2-y）2=y2整理得：x2-4y+4=0，

由y=-x2+x得3x2-6x+4=0 因為（-6）2-4×3×4＜0，

所以此方程無實根，

所以這樣的點就不存在．

考點：圓的綜合題．