Question

4．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)O為兩條對角線的交點(diǎn)．
（1）如圖①，點(diǎn)M、N分別在AD、CD邊上，∠MON=90°，求證：OM=ON．
（2）如圖②，若AE交CD于點(diǎn)E，DF⊥AE于F，在AE截取AG=DF，連接OF、OG，那么△OFG是哪種特殊三角形，證明你的結(jié)論．
（3）如圖③，若AE交BC于點(diǎn)E，DF⊥AE于F，連接OF，求∠DFO的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)得到∠OAM=∠ODM，再利用等量的差相等得到∠AOM=∠DON，從而證明出△AOM≌△DON即可，
（2）利用正方形的性質(zhì)得到∠OAM=∠ODM，再利用等量的和相等得到∠DAE=∠FDE，從而證明出△OAG≌△ODF即可，
（3）借助與（1）和（2）的特點(diǎn)作出輔助線即可．

解答 （1）證明：如圖①，連接OA，OD，則OA=OD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∠OAM=∠ODM=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠AOD-∠MOD=∠MON-∠MOD，
∴∠AOM=∠DON，
∴△AOM≌△DON（ASA），
∴OM=ON；
（2）
如圖②，△OFG為等腰直角三角形．
證明：連接OA，OD，則OA=OD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∠OAD=∠ODC=45°，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF=∠ADF+FDE=90°
∴∠DAE=∠FDE，
∴∠OAG=∠ODF，
∵AG=DF，
∴△OAG≌△ODF，
∴OG=OF，
∠AOG=∠DOF，
∴∠GOF=∠GOD+∠DOF=∠AOG+∠GOD=90°，
故△OFG為等腰直角三角形．
（3）
解：如圖③，在AE上截取AG=DF，連接OA，OD，OG，其中OA與DF交于點(diǎn)H，則AO=DO，
∵∠AFD=∠AOD=90°，
∠AHF=∠DHO，
∴∠GAO=∠FDO，
∴△OAG≌△ODF，
∴OG=OF，
∠AOG=∠DOF，
∴∠GOF=∠GOA-∠FOA=∠DOF-∠FOA=90°，
∴∠GFO=45°，
∴DF⊥AE，
∴∠DFO=45°．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，涉及到正方形正方形的對角線垂直相等且平分，如OA=OD，用到等量的和（差）相等，如得到∠AOM=∠DON，∠DAE=∠FDE，本題的關(guān)鍵是充分利用正方形的性質(zhì)．