Question

11．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO．
（1）已知EO=$\sqrt{2}$，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，再證得EO是△AFC的中位線，從而得EO、AC的長(zhǎng)，知道AC的長(zhǎng)后可求BC；
（2）連接FN，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得CE⊥AF，進(jìn)一步得出∠BAF=∠BCN，然后通過(guò)證得△ABF≌△CBN得出BF=BN，進(jìn)而證得△CFN∽△EOM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EM與CN的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴CA=$\sqrt{2B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$BC．
∵CF=CA，CE是∠ACF的角平分線，
∴E是AF的中點(diǎn)．
∵E、O分別是AF、AC的中點(diǎn)，
∴EO∥BC，且EO=$\frac{1}{2}$CF，
∵EO=$\sqrt{2}$，
∴CA=CF=2$\sqrt{2}$，
∴BC=2．
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2；

（2）EM=$\frac{1}{2}$CN．
證明：連接FN，
∵CF=CA，CE是∠ACF的平分線，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN=∠CBN=90°，
∵∠ANE=∠CNB，
∴∠BAF=∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BCN}\\{∠ABF=∠CBN=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴BF=BN，
∴∠CFN=∠FNB=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∵EO∥BC，
∴∠EOM=∠DBC=45°，∠OEM=∠FCN，
∴∠CFN=∠EOM，
∴△CFN∽△EOM，
∴$\frac{EM}{CN}=\frac{EO}{CF}$，
即$\frac{EM}{CN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$．
∴EM=$\frac{1}{2}$CN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．