Question

16．我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=$\frac{p}{q}$．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2-1＞6-2＞4-3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=$\frac{3}{4}$．
（1）如果一個正整數(shù)a是另外一個正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；
（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中F（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可設(shè)m=n²，由最佳分解定義可得F（m）=$\frac{n}{n}$=1；
（2）根據(jù)“吉祥數(shù)”定義知（10y+x）-（10x+y）=18，即y=x+2，結(jié)合x的范圍可得2位數(shù)的“吉祥數(shù)”，求出每個“吉祥數(shù)”的F（t），比較后可得最大值．

解答 解：（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設(shè)m=n²（n為正整數(shù)），
∵|n-n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=$\frac{n}{n}$=1；

（2）設(shè)交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，
∵t為“吉祥數(shù)”，
∴t′-t=（10y+x）-（10x+y）=9（y-x）=18，
∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，
∴“吉祥數(shù)”有：13，24，35，46，57，68，79，
∴F（13）=$\frac{1}{13}$，F(xiàn)（24）=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，F(xiàn)（35）=$\frac{5}{7}$，F(xiàn)（46）=$\frac{2}{23}$，F(xiàn)（57）=$\frac{3}{19}$，F(xiàn)（68）=$\frac{4}{17}$，F(xiàn)（79）=$\frac{1}{79}$，
∵$\frac{5}{7}$＞$\frac{2}{3}$＞$\frac{4}{17}$＞$\frac{3}{19}$＞$\frac{2}{23}$$＞\frac{1}{13}$＞$\frac{1}{79}$，
∴所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值是$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解最佳分解、“吉祥數(shù)”的定義，并將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．