Question

【題目】如圖①，已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標：A　 　；B　 　；C　 　；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，時△APC的周長最小，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上的一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）;（2）存在．（3）點E坐標為（）．

【解析】試題分析：

（1）在y=﹣x2﹣2x+3中分別由y=0和x=0求出對應的x的值和y的值即可得到A、B、C三點的坐標；

（2）由已知易得拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線x=1，由題意可知點A、B關于直線x=1對稱，連接BC交直線x=1于點P，則此時△ACP的周長最小，由點B、C的坐標可求出直線BC的解析式，把x=1代入所求解析式中求得對應的y的值即可得到點P的坐標；

（3）如圖2，連接OE，由題意可設點E的坐標為（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），由S四邊形BOCE=S△OBE+S△OCE即可列式表達出其面積，將所得表達式配方，結合二次函數的性質即可得到四邊形BOCE面積的最大值和對應的點E的坐標.

試題解析：

（1）令x=0得：y=3，

∴C（0，3）．

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（1，0），B（﹣3，0）．

故答案為：A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）．

（2）存在．

如圖①所示：連接BC，交拋物線的對稱軸與點P，連接PA．

由題意可知，A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=﹣1對稱

∴PB=PA．

∴PC+PA=PC+PB．

由兩點之間線段最短可知：PC+PA有最小值．

∴此時△APC周長最�。�

設直線BC的解析式為y=kx+b．

將點B和點C的坐標代入得： ，解得k=1，b=3．

∴直線BC的解析式為y=x+3．

把x=﹣1代入y=x+3得y=2

∴P（﹣1，2）

（3）如圖②所示：連接OE．

設E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）．

S四邊形BOCE=OB|yE|+OC|xE|=×3×（﹣a）+×3×（﹣a2﹣2a+3）=﹣a2﹣a+=﹣（a+）2+．

∴當a=﹣時，四邊形BOCE面積最大，且最大面積為．

此時，點E坐標為（）．