Question

8．如圖①②，點(diǎn)E、F分別是線段AB、線段CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1）線段AD和線段BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)DG⊥GC時(shí)，試判斷直線AD和直線BC的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由GF垂直平分DC，可得GD=GC，同理可得，GA=GB，又由∠AGD=∠BGC，即可證得△ADG≌△BCG（SAS），繼而證得結(jié)論；
（2）首先延長AD，與CG相交于點(diǎn)O、與BC的延長線相交于點(diǎn)Q，由（1）可證得∠ADG=∠BCG，繼而可求得∠Q的度數(shù)，

解答 解：（1）AD=BC．
理由：∵GF垂直平分DC，
∴GD=GC
同理，GA=GB，
在△ADG和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{GD=GC}\\{∠AGD=∠BGC}\\{GA=GB}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴AD=BC；

（2）AD⊥BC．
理由：延長AD，與CG相交于點(diǎn)O、與BC的延長線相交于點(diǎn)Q．
∵△ADG≌△BCG，
∴∠ADG=∠BCG，
則∠GDO=∠QCO，
∴∠QDC+∠QCD=∠QDC+∠DCG+∠QCG=∠QDC+∠GDQ+∠DCG=∠CDG+∠DCG，
∵DG⊥GC，
∴∠QDC+∠QCD=∠CDG+∠DCG=90°，
∴∠Q=90°，
∴AD⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．