Question

13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AE=AF，EH⊥BF，AM⊥BF，求證：HM=CM．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先證明△BAF≌△ACG，AF=CG，再證明四邊形EHDA是平行四邊形，得
DH=AE，所以DH=CG，最后證明△DHM≌△GMC，可得結(jié)論．

解答 證明：過C作CG⊥AC，交AM的延長線于G，過H作HD∥AB，交AM于D，
∵EH⊥BF，AM⊥BF，
∴EH∥AM，
∴四邊形EHDA是平行四邊形，
∴DH=AE，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAC+∠BAM=90°，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，
∴∠MAC+∠G=90°，
∴∠G=∠BAM，
∵∠BAC=∠ACG=90°，AB=AC，
∴△BAF≌△ACG，
∴AF=CG，
∴DH=CG，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DH∥AB，
∴∠DHM=∠ABC=45°，
∵∠ACG=90°，
∴∠MCG=45°，
∴∠MCG=∠DHM，
∵∠DMH=∠GMC，
∴△DHM≌△GMC，
∴HM=MC．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵；輔助線巧妙地把等腰三角形的兩腰放在了兩個(gè)全等的三角形中，為全等三角形構(gòu)建了一組對應(yīng)邊相等；同時(shí)構(gòu)建的平行四邊形又將已知相等的邊平移到了另一組全等的三角形中，使問題得以解決．