Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：代數幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由待定系數法建立二元一次方程組求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出頂點坐標，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P1，以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P₂，P₃，作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質及勾股定理就可以求出結論；
（3）先求出BC的解析式，設出E點的坐標為（a，-

1

2

a+2），就可以表示出F的坐標，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

2

x²+mx+n經過A（-1，0），C（0，2）．
解得：

m= 3 2 n=2

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∴y=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴拋物線的對稱軸是x=

3

2

．
∴OD=

3

2

．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=

5

2

．
∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．
作CM⊥x對稱軸于M，
∴MP₁=MD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（

3

2

，4），P₂（

3

2

，

5

2

），P₃（

3

2

，-

5

2

）；

（3）當y=0時，0=-

1

2

x²+

3

2

x+2
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

2=b 0=4k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+2．
如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設E（a，-

1

2

a+2），F（a，-

1

2

a²+

3

2

a+2），
∴EF=-

1

2

a²+

3

2

a+2-（-

1

2

a+2）=-

1

2

a²+2a（0≤a≤4）．
∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=

1

2

BD•OC+

1

2

EF•CM+

1

2

EF•BN，
=

1

2

×

5

2

×2+

1

2

a（-

1

2

a²+2a）+

1

2

（4-a）（-

1

2

a²+2a），
=-a²+4a+

5

2

（0≤a≤4）．
=-（a-2）²+

13

2

∴a=2時，S_{四邊形CDBF的面積最大}=

13

2

，
∴E（2，1）．

點評：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的解析式的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質的運用，四邊形的面積的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．