Question

【題目】如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，

（1）求證：M是BE的中點(diǎn)．

（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3+．

【解析】

（1）連接BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DBC＝＝30°，再利用三角形外角性質(zhì)得到∴∠E＝30°，然后利用等角對(duì)等邊及等腰三角形三線合一的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)和30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半求解.

（1）連接BD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴∠DBC＝＝30°，

∵CD＝CE，

∴∠E＝∠CDE，

∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，

∴∠E＝30°，

∴∠DBC＝∠E，

∴BD＝ED，

∴DM⊥BE，

∴M是BE的中點(diǎn)；

（2）由題意可知，BD＝DE＝，

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴AD＝CD＝1，

又∵等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)

AB＝AC＝2CD＝2，

則△ABD的周長AB+AD+BD＝3+．