Question

如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形．
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為2，求AC的長．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；
（2）根據(jù)菱形的對稱性可知S_菱形OCED=2S_△OCD，然后用AC表示出AB、BC，再根據(jù)矩形的性質(zhì)利用三角形的面積公式列方程求解即可．

解答：（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：∵四邊形OCED是菱形，
∴S_菱形OCED=2S_△OCD，
∵∠ACB=30°，
∴AB=

1

2

AC，BC=

3

2

AC，
∴S_菱形OCED=

1

2

×

1

2

AC•

3

2

AC=2，
解得AC=

4 3

3

．

點評：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．