Question

如圖1，△ACB和△ECD均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，把△ECD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D在AB上，如圖②，連接AE．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）如圖2，若AB=17，ED=13，求△ADE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）利用等角的余角相等得到∠BCD=∠ACE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC，CE=CD，于是可根據(jù)“SAS”判斷△ACE≌△BCD；
（2）由△ACB為等腰直角三角形得到∠B=∠BAC=45°，再由△ACE≌△BCD得到AE=BD，∠CAE=∠B=45°，則∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ADE中利用勾股定理得到AE²+AD²=DE²，利用完全平方公式變形得到（AE+AD）²-2AE•AD=DE²，加上AE+AD=BD+AD=AB=17，于是可計算出AE•AD=60，然后根據(jù)三角形的面積公式計算△ADE的面積．

解答：（1）證明：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵△ACB和△ECD均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
在△ACE和△BCD中

CA=CB ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD；
（2）解：∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠CAE=∠B=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ADE中，∵AE²+AD²=DE²，
∴（AE+AD）²-2AE•AD=DE²，
∵AE+AD=BD+AD=AB=17，
∴17²-2AE•AD=13²，
∴AE•AD=60，
∴△ADE的面積=

1

2

AE•AD=30．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．