Question

已知平面內(nèi)有n（n≥3，且n為整數(shù)）個(gè)點(diǎn)，其中無任何三點(diǎn)在同一條直線上．過其中任意兩點(diǎn)畫線段，可得a_n條線段；以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，可得b_n個(gè)三角形．

（1）請(qǐng)你依照題意，在圖③、圖④中完成作圖；
（2）觀察圖形，完成下表：

n	3	4	5	6
示意圖	圖①	圖②	圖③	圖④
an	3	6
bn	1	4

（3）照此規(guī)律，a_n=

n(n-1)

2

；b_n-b_n-1=

(n-1)(n-2)

2

．

Answer 1

分析：（1）順次連接所有的點(diǎn)即可得到正確的圖形；
（2）所有線段是多邊形的邊數(shù)加上多邊形的對(duì)角線的條數(shù)；
（3）根據(jù)上題總結(jié)的規(guī)律填寫即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意是順次連接所有的點(diǎn)得到多邊形，如圖：

（2）如下表：

n	3	4	5	6
示意圖	圖①	圖②	圖③	圖④
an	3	6	10	15
bn	1	4	10	20

（3）平面上有n個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)和除自身外的n-1個(gè)點(diǎn)可以連線，但每條線都重復(fù)兩次，故a_n=

n(n-1)

2

；
平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有B有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)C有（n-2）種取法，
所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個(gè)三角形，
故應(yīng)除以6，
即b_n=

n(n-1)(n-2)

6

，
∴b_n-b_n-1=

n(n-1)(n-2)

6

-

(n-1)(n-2)(n-3)

6

=

(n-1)(n-2)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．