Question

已知拋物線經(jīng)過點A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求該拋物線頂點Q的坐標，且判斷△ACQ的形狀，并請說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸在如圖圖象上，是否存在一點P，使得以P、A、B、C四個點為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案；
（2）首先過點Q作QH⊥y軸于點H，則QH=1，CH=1，可得出△QCH是等腰直角三角形，則∠QCH=45°，進而求出△AOC是等腰直角三角形，易得△ACQ的形狀；
（3）利用梯形的性質(zhì)一組對邊平行，進而利用分類討論得出符合題意的坐標．

解答：解：（1）設拋物線方程為y=ax²+bx+c（a≠0）
∵拋物線經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴所求拋物線的解析式為 y=-x²-2x+3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴點Q的坐標為（-1，4）．
過點Q作QH⊥y軸于點H，則QH=1，CH=1，
∴△QCH是等腰直角三角形，∴∠QCH=45°．
∵OA=3，OC=3，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠AOC=45°．
∴∠ACQ=90°，∴△ACQ是直角三角形．
（其他方法請參照給分）；

（3）當PC∥AB時，根據(jù)對稱性可得P₁（-2，3），此時PC≠AB．
當PB∥AC時，設PB交y軸于D，
∵P′B∥AC，
∴△ACO∽△BDO，
∵AO=CO，
∴BO=DO，
∴D（0，-1），
設P′B的直線方程為y=kx+b，且點B（1，0）、D（0，-1）在直線上，
∴

k+b=0 0+b=-1

，即

k=1 b=-1

∴P′B的直線方程為y=x-1．
由

y=x-1 y=-x2-2x+3

解得

x=-4 y=-5

或

x=1 y=0

(舍去)，
∴P₂（-4，-5），此時P′B≠AC．
當PA∥BC時，則點P在拋物線對稱軸的右邊圖象上，不合題意．
綜上所述，符合題意的點P坐標是P（-2，3），P（-4，-5）．

點評：此題主要考查了梯形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論思想得出P點位置是解題關鍵．