Question

【題目】如圖，E為菱形ABCD的邊CD上任意點(diǎn)，將CE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定角度后與AD平行．

（1）如圖，若CE旋轉(zhuǎn)后得到PE和NE，試判斷下列結(jié)論是否成立？

①BD平分AN，　 　；

②BD⊥AP，　 　（填寫(xiě)“成立”或“不成立”）；

（2）證明（1）中你的判斷．

（3）若∠ABC=60°，AB=BM=+1，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①成立；②成立；（2）見(jiàn)解析；（3） ．

【解析】

（1）根據(jù)題意、結(jié)合圖形進(jìn)行猜測(cè)；

（2）連接AC、PC、CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三點(diǎn)共線，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明即可；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和余弦的定義求出BH，得到HM，根據(jù)三角形中位線定理求出CN，根據(jù)余弦的定義求出PN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．

（1）①BD平分AN，成立；

②BD⊥AP，成立．

故答案為：①成立；②成立；

（2）連接AC、PC、CN．

∵EP=EC，∴∠ECP=∠EPC，∴∠ECP==90°﹣∠PEC，同理，∠DCA=90°﹣∠ADC．

∵PN∥AD，∴∠PEC=∠ADC，∴∠ECP=∠DCA，∴A、P、C三點(diǎn)共線．

∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．

∵CE=PE=EN，∴∠PCN=90°，∴CN∥BD，又AH=HC，∴AM=MN，即BD平分AN；

（3）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴BH=AB×cos30°=，∴HM=BM﹣BH=+1﹣=．

∵∠ABC=60°，∴∠BAD=120°．

∵∠ABH=30°，∠AHB=90°，∴∠BAH=60°，∴∠DAC=120°－60°=60°．

∵AD∥PN，∴∠NPC=∠DAC=60°．

∵AH=HC，AM=MN，∴CN=2HM=﹣1，CN∥BD，∴∠PCN=∠BHC=90°，∴∠PNC=90°－60°=30°，∴PN==，∴CE=PN=．