【題目】如圖,AB、CD為⊙O的直徑,弦AE∥CD,連接BE交CD于點F,過點E作直線EP與CD的延長線交于點P,使∠PED=∠C.
(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)求證:ED平分∠BEP;
(3)若⊙O的半徑為5,CF=2EF,求PD的長.
【答案】(1)證明見試題解析;(2)證明見試題解析;(3).
【解析】試題分析:(1)如圖,連接OE,證明OE⊥PE即可得出PE是⊙O的切線;
(2)由圓周角定理得到∠AEB=∠CED=90°,進而得到∠3=∠4,結(jié)合已知條件證得結(jié)論;
(3)設(shè)EF=x,則CF=2x,在RT△OEF中,根據(jù)勾股定理求出EF的長,進而求得BE,CF的長,在RT△AEB中,根據(jù)勾股定理求出AE的長,然后根據(jù)△AEB∽△EFP,求出PF的長,即可求得PD的長.
試題解析:(1)如圖,連接OE.∵CD是圓O的直徑,∴∠CED=90°,∵OC=OE,∴∠1=∠2,又∵∠PED=∠C,即∠PED=∠1,∴∠PED=∠2,∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°,即∠OEP=90°,∴OE⊥EP,又∵點E在圓上,∴PE是⊙O的切線;
(2)∵AB、CD為⊙O的直徑,∴∠AEB=∠CED=90°,∴∠3=∠4(同角的余角相等),又∵∠PED=∠1,∴∠PED=∠4,即ED平分∠BEP;
(3)設(shè)EF=x,則CF=2x,∵⊙O的半徑為5,∴OF=2x﹣5,在RT△OEF中,,即,解得x=4,∴EF=4,∴BE=2EF=8,CF=2EF=8,∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2,∵AB為⊙O的直徑,∴∠AEB=90°,∵AB=10,BE=8,∴AE=6,∵∠BEP=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,∴△AEB∽△EFP,∴,即,∴PF=,∴PD=PF﹣DF==.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖A1、A2、A3....在直線y=x上,點C1、C2、C3....在直線y=2x上,以它們?yōu)轫旤c依次構(gòu)造第一個正方形A1C1A2B1,第二個正方形A2C2A3B2...,若A1的橫坐標(biāo)是1,則B3的坐標(biāo)是__________,第n個正方形的面積是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“書香包河”讀書活動中,學(xué)校準(zhǔn)備購買一批課外讀物,為使課外讀物滿足學(xué)生們的需求,學(xué)校就“我最喜愛的課外讀物”從文學(xué)、藝術(shù)、科普和其他四個類別進行了抽樣調(diào)查(每位同學(xué)只選一類),如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了______________名同學(xué);
(2)條形統(tǒng)計圖中,m=_________,n=__________;
(3)扇形統(tǒng)計圖中,藝術(shù)類讀物所在扇形的圓心角是多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過某矩形的兩個相對的頂點作平行線,再沿著平行線剪下兩個直角三角形,剩余的圖形為如圖所示的ABCD,AB=4,BC=6,∠ABC=60°,則原來矩形的面積是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們規(guī)定:形如為常數(shù),的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”.當(dāng) 時,“奇特函數(shù)” 就是反比例函數(shù) .
(1) 若矩形的兩邊長分別是2和3,當(dāng)這兩邊長分別增加x和y后,得到的新矩形的面積為8 ,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并判斷這個函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”;
(2) 如圖,點O為坐標(biāo)原點,矩形OABC的頂點A,C的坐標(biāo)分別為(9,0)、(0,3).點D是OA的中點,連結(jié)OB,CD交于點E,“奇特函數(shù)” 的圖象經(jīng)過B,E兩點.
① 求這個“奇特函數(shù)”的解析式;
② 把反比例函數(shù) 的圖象向右平移6個單位,再向上平移 個單位可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象.過線段BE中點M的一條直線l與這個“奇特函數(shù)”的圖象交于P,Q兩點(P在Q的右側(cè)),若以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16,請直接寫出點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點C(0,1),頂點為Q(2,3),點D在x軸正半軸上,且OD=OC.
(1)求直線CD的解析式;
(2)求拋物線的解析式;
(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E,求證:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的條件下,若點P是線段QE上的動點,點F是線段OD上的動點,問:在P點和F點移動過程中,△PCF的周長是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:
快放寒假了,小宇來到書店準(zhǔn)備購買一些課外讀物在假期里閱讀.在選完書結(jié)賬時,收銀員告訴小宇,如果花20元辦理一張會員卡,用會員卡結(jié)賬買書,可以享受8折優(yōu)惠.小宇心算了一下,覺得這樣可以節(jié)省13元,很合算,于是采納了收銀員的意見.請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)你認(rèn)為小宇購買 元以上的書,辦卡就合算了;
(2)小宇購買這些書的原價是多少元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為底邊分別作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF.
(1)當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(如圖①),以邊AB、AD為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF,連接BF、ED,線段BF和ED的數(shù)量關(guān)系是_____________;
(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(如圖②),以邊AB、AD為斜邊分別向矩形內(nèi)側(cè)、外側(cè)作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF,連接EF、BD,線段EF和BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(3)當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時,以邊AB、AD為底邊分別向平行四邊形內(nèi)側(cè)、外側(cè)作等腰△ABE和等腰△ADF,且△ABE和△ADF的頂角均為 ,連接EF、BD,交點為G.請用表示出∠FGD,并說明理由.
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