Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且cosα=，則線段CE的最大值為　　　　　　．

　

　

Answer 1

　6.4　．

 

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】計算題．

【分析】作AG⊥BC于G，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG=CG，再利用余弦的定義計算出BG=8，則BC=2BG=16，設(shè)BD=x，則CD=16﹣x，證明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=﹣x²+x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求CE的最大值．

【解答】解：作AG⊥BC于G，如圖，

∵AB=AC，

∴BG=CG，

∵∠ADE=∠B=α，

∴cosB=cosα==，

∴BG=×10=8，

∴BC=2BG=16，

設(shè)BD=x，則CD=16﹣x，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，

∴∠CDE=∠BAD，

而∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴=，即=，

∴CE=﹣x²+x

=﹣（x﹣8）²+6.4，

當x=8時，CE最大，最大值為6.4．

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．