Question

如圖，D是正△ABC的外接圓⊙O上弧AB上一點，給出下列結論：①∠BDC=∠ADC=60°；②AE•BE=CE•ED；③CA²=CE•CD；④CD=BD+AD．其中正確的個數是（　�。�

A．4       B．3       C．2       D．1

Answer 1

A【考點】相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；圓周角定理．

【分析】連接AD，根據等邊三角形的性質得到∠BAC=∠ABC=60°，由圓周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，于是得到∠BDC=∠ADC=60°，故①正確；根據圓周角定理得到∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，推出△BDE∽△ACE，根據相似三角形的性質即可得到AE•BE=CE•ED；故②正確；由于∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，得到△ACD∽△ACE，根據相似三角形的性質得到CA²=CE•CD；故③正確；在CD上截取CF=BD，通過△ABD≌△ACF，得到AD=AF，推出△ADF是等邊三角形，得到DF=AD，等量代換即可得到結論．

【解答】解：連接AD，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠ADC=60°，故①正確；

∵∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，

∴△BDE∽△ACE，

∴，

∴AE•BE=CE•ED；故②正確；

∵∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，

∴△ACD∽△ACE，

∴，

∴CA²=CE•CD；故③正確；

在CD上截取CF=BD，

在△ABD與△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF，

∴AD=AF，

∵∠ADC=60°，

∴△ADF是等邊三角形，

∴DF=AD，

∵CD=CF+DF，

∴CD=BD+AD．故④正確．

故選A．

【點評】此題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．