【題目】如圖,拋物線y=x2﹣mx﹣(m+1)與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A(x1,0),與x軸正半軸交于點(diǎn)B(x2,0)(OA<OB),與y軸交于點(diǎn)C,且滿足x12+x22﹣x1x2=13.
(1)求拋物線的解析式;
(2)以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),BC為直角邊作Rt△BCD,CD交拋物線于第四象限的點(diǎn)E,若EC=ED,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣);(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣3,12)或(2,﹣3).理由見解析.
【解析】
(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=m,x1x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根據(jù)OA<OB,得出拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),那么m=2,即可確定拋物線的解析式;
(2)連接BE、OE.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BE=CD=CE.利用SSS證明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即點(diǎn)E在第四象限的角平分線上,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E點(diǎn)坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)Q作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F,連接CF,根據(jù)三角形的面積公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣3x﹣3.根據(jù)AC∥FQ,可設(shè)直線FQ的解析式為y=﹣3x+b,將F(1,0)代入,利用待定系數(shù)法求出直線FQ的解析式為y=﹣3x+3,把它與拋物線的解析式聯(lián)立,得出方程組,求解即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
(1)∵拋物線y=x2﹣mx﹣(m+1)與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A(x1,0),與x軸正半軸交于點(diǎn)B(x2,0),
∴x1+x2=m,x1x2=﹣(m+1),
∵x12+x22﹣x1x2=13,
∴(x1+x2)2﹣3x1x2=13,
∴m2+3(m+1)=13,
即m2+3m﹣10=0,
解得m1=2,m2=﹣5.
∵OA<OB,
∴拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),
∴m=2,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)連接BE、OE.
∵在Rt△BCD中,∠CBD=90°,EC=ED,
∴BE=CD=CE.
令y=x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵C(0,﹣3),
∴OB=OC,
又∵BE=CE,OE=OE,
∴△OBE≌△OCE(SSS),
∴∠BOE=∠COE,
∴點(diǎn)E在第四象限的角平分線上,
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(m,﹣m),將E(m,﹣m)代入y=x2﹣2x﹣3,
得m=m2﹣2m﹣3,解得m=,
∵點(diǎn)E在第四象限,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣);
(3)過點(diǎn)Q作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F,連接CF,則S△ACQ=S△ACF.
∵S△ACQ=2S△AOC,
∴S△ACF=2S△AOC,
∴AF=2OA=2,
∴F(1,0).
∵A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴直線AC的解析式為y=﹣3x﹣3.
∵AC∥FQ,
∴設(shè)直線FQ的解析式為y=﹣3x+b,
將F(1,0)代入,得0=﹣3+b,解得b=3,
∴直線FQ的解析式為y=﹣3x+3.
聯(lián)立,
解得,,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣3,12)或(2,﹣3).
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【題目】如圖,□ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在邊BC的延長線上,且OE=OB,連接DE.
(1)求證:DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD,求證:BD·CE=CD·DE.
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【題目】已知拋物線y1=﹣x2+mx+n,直線y2=kx+b,y1的對稱軸與y2交于點(diǎn)A(﹣1,5),點(diǎn)A與y1的頂點(diǎn)B的距離是4.
(1)求y1的解析式;
(2)若y2隨著x的增大而增大,且y1與y2都經(jīng)過x軸上的同一點(diǎn),求y2的解析式.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E,若BF=6,AB=5,則∠AEB的正切值為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,△ABC是一塊直角三角板,且∠C=90°,∠A=30°,現(xiàn)將圓心為點(diǎn)O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部,將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周,回到起點(diǎn)位置時停止,若BC=7+2,圓形紙片的半徑為2,求圓心O運(yùn)動的路徑長為_____.
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【題目】△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方形邊長為1),AD⊥BC于D,下列選項(xiàng)中,錯誤的是( )
A. sinα=cosα B. tanC=2 C. sinβ= D. tanα=1
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【題目】如圖,已知點(diǎn)A(a,3)是一次函數(shù)y1=x+1與反比例函數(shù)y2=的圖象的交點(diǎn).(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)在y軸的右側(cè),當(dāng)y1>y2時,直接寫出x的取值范圍;(3)求點(diǎn)A與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形OBAC的面積.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①abc>0;②b2﹣4ac<0;③4a+c>2b;④(a+c)2>b2;⑤x(ax+b)a﹣b,其中正確結(jié)論的是( )
A. ①③④ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ③④⑤
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