Question

【題目】如圖，△ABC為圓O的內接三角形，BD為⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．

（1）求證：△ABE∽△ADB，并求AB的長；

（2）延長DB到F，使BF＝BO，連接FA，那么直線FA與⊙O相切嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析，AB＝2；（2）直線FA與⊙O相切，見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和圓周角定理可得∠ABC＝∠D，由∠BAE＝∠DAB故△ABE∽△ADB，進而可得 ；代入數據即可得求解．

（2）連接OA，根據勾股定理可得BF＝BO＝AB；易得∠OAF＝90°，可得直線FA與⊙O相切．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C．

∵∠C＝∠D，

∴∠ABC＝∠D．

又∵∠BAE＝∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴ ，

∴AB2＝ADAE＝（AE+ED）AE＝（2+4）×2＝12，

∴AB＝2；

（2）解：直線FA與⊙O相切．

理由如下：

連接OA，

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD＝90°，

∴BD＝，

∴BF＝BO＝．

∵AB＝2，

∴BF＝BO＝AB，

∴∠OAF＝90°．

∴直線FA與⊙O相切．

故答案為：（1）見解析，AB＝2；（2）直線FA與⊙O相切，見解析.