Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

5

6

x²+

13

6

x+c與y軸交于點(diǎn)D，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B（-1，0），直線y=

1

2

x+b與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．作△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點(diǎn)C，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E．
（1）求b、c的值；
（2）求：①點(diǎn)A的坐標(biāo)；②∠AEC的正切值；
（3）將△BOD繞平面內(nèi)一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，使得該三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)落在已知拋物線上（如圖2），請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)B（-1，0）分別代入y=

1

2

x+b與y=-

5

6

x²+

13

6

x+c，即可求得b、c的值；
（2）①由于直線y=

1

2

x+b與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，所以聯(lián)立直線y=

1

2

x+b與拋物線的解析式，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于H，先運(yùn)用勾股定理的逆定理證明出△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，再利用圓周角定理得出∠ACD=∠BCD=45°，∠BDC=∠BAC，得到△DBC∽△AEC，則∠DBC=∠AEC，然后在Rt△DBO中利用正切函數(shù)的定義即可求出tan∠AEC=tan∠DBC=3；
（3）分三種情況討論：①旋轉(zhuǎn)后OD在拋物線上；②旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上；③旋轉(zhuǎn)后BD在拋物線上．即可得到有四個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)中心．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

1

2

x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）+b，
解得b=

1

2

；
∵拋物線y=-

5

6

x²+

13

6

x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-1，0），
∴0=-

5

6

×（-1）²+

13

6

×（-1）+c，
解得c=3；

（2）①

1

2

x+

1

2

=-

5

6

x²+

13

6

x+3，
化簡(jiǎn)得x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
當(dāng)x=3時(shí)，y=2，
∴A（3，2）；
②如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于H．
∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
∴在△ABD中，AB²=（-1-3）²+（0-2）²=20，AD²=（0-3）²+（3-2）²=10，DB²=（-1-0）²+（0-3）²=10，
∴AB²=AD²+DB²，AD=DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
∵△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點(diǎn)C，
∴AB為⊙M的直徑，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
又∵∠BDC=∠BAC，
∴△DBC∽△AEC，
∴∠DBC=∠AEC，
∴tan∠AEC=tan∠DBC=

OD

OB

=

3

1

=3；

（3）分為3種情況，①旋轉(zhuǎn)后OD在拋物線上；②旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上；③旋轉(zhuǎn)后BD在拋物線上．
1、旋轉(zhuǎn)后OD在拋物線上：
設(shè)為O′D′，則O′D′平行于x軸，拋物線y=-

5

6

x²+

13

6

x+3=-

5

6

（x-

13

10

）²+

529

120

，對(duì)稱(chēng)軸x=

13

10

，
則x₁=

13

10

-

1

2

|OD|=

13

10

-

3

2

=-

1

5

，x₂=

13

10

+

3

2

=

14

5

，
則兩點(diǎn)為（-

1

5

，

38

15

）、（

14

5

，

38

15

）．
這時(shí)分別：①O′（-

1

5

，

38

15

）、D′（

14

5

，

38

15

）；②O′（

14

5

，

38

15

）、D′（-

1

5

，

38

15

），此時(shí)O′D′=3．
設(shè)旋轉(zhuǎn)中心P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）．
①如果O′（-

1

5

，

38

15

）、D′（

14

5

，

38

15

），由題意，得

x+y= 38 15 y-x= 1 5

，解得

x= 7 6 y= 41 30

，
此時(shí)旋轉(zhuǎn)中心P₁為（

7

6

，

41

30

）；
②如果O′（

14

5

，

38

15

）、D′（-

1

5

，

38

15

），由題意，得

y-x= 38 15 x+ 1 5 =3- 38 15 -x

，解得

x= 2 15 y= 8 3

，
此時(shí)旋轉(zhuǎn)中心P₂為（

2

15

，

8

3

）；
2、旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線上：
由于OB⊥y軸，則O′B′⊥x軸，此時(shí)顯然不成立；
3、旋轉(zhuǎn)后BD在拋物線上：
BD邊旋轉(zhuǎn)90°后所得線段B′D′與BD垂直，直線斜率k_BD=3，則k_B′D′=-

1

3

．
設(shè)旋轉(zhuǎn)后B′D′所在直線方程為：y=-

1

3

x+m，
與拋物線：y=-

5

6

x²+

13

6

x+3聯(lián)立，解方程組，得：

x= 15+ 585-120m 10 y= -15- 585-120m +30m 30

或

x= 15- 585-120m 10 y= -15+ 585-120m +30m 30

，此為兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．
∵B′D′=BD=

10

，
∴（

15- 585-120m

10

-

15+ 585-120m

10

）²+（

-15+ 585-120m +30m

30

-

-15- 585-120m +30m

30

）²=10，
整理，得585-120m=225，
解得m=3，
∴兩點(diǎn)坐標(biāo)：（3，2），（0，3）．
①如果B′（3，2），D′（0，3），則D′與D重合，所以此時(shí)旋轉(zhuǎn)中心為P₃（0，3）；
②如果D′（3，2），B′（0，3），則此時(shí)旋轉(zhuǎn)中心為P₄（1，1）．
綜上可知，旋轉(zhuǎn)中心為（0，3）、（1，1）、（

7

6

，

41

30

）、（

2

15

，

8

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．