Question

銳角三角形ABC的三邊長BC=a，CA=b，AB=c．a(chǎn)、b、c均為整數(shù)，且滿足如下條件：a、b的最大公約數(shù)為2，a+b+c=

6ab

a+b

，則△ABC的周長為

 

．

Answer 1

考點：約數(shù)與倍數(shù),三角形三邊關(guān)系

專題：

分析：由題目可知，c=

6ab

a+b

-（a+b）=

6ab-(a+b)2

a+b

，由于三角形中，有a+b＞c，則

6ab

a+b

-（a+b）=

6ab-(a+b)2

a+b

＜a+b，整理得：3ab＜（a+b）²＜6ab，由于ab≤（

a+b

2

）²，所以（a+b）²≥4ab，假設(shè)（a+b）²=4ab，則a=b，由于a，b的最大公約數(shù)為2，所以a=b=2，代入a+b+c=

6ab

a+b

，得c=2，符合題意．當(dāng)△ABC為非等邊三角形，三邊為10，14，11，從而求出△ABC的周長．

解答：解：三角形中，有a+b＞c，
則

6ab

a+b

-（a+b）=

6ab-(a+b)2

a+b

＜a+b，
整理得：3ab＜（a+b）²＜6ab，
由于ab≤（

a+b

2

）²，
所以（a+b）²≥4ab，
假設(shè)（a+b）²=4ab，則a=b，
由于a，b的最大公約數(shù)為2，
所以a=b=2，
代入a+b+c=

6ab

a+b

，得c=2，符合題意．
則△ABC的周長=2+2+2=6．
當(dāng)△ABC為非等邊三角形，三邊為10，14，11，滿足a+b+c=

6ab

a+b

，則△ABC的周長=10+14+11=35．
故答案為：6或35．

點評：考查了最大公約數(shù)與三角形三邊關(guān)系，本題得到a=b，根據(jù)a，b的最大公約數(shù)為2，得到a=b=2是解題的關(guān)鍵，題目較難．