【題目】解答題
(1)【問題提出】
如圖①,已知△ABC是等腰三角形,點(diǎn)E在線段AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC,將△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF
試證明:AB=DB+AF

(2)【類比探究】
如圖②,如果點(diǎn)E在線段AB的延長線上,其他條件不變,線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由

(3)如果點(diǎn)E在線段BA的延長線上,其他條件不變,請?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,并寫出AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系,不必說明理由.

【答案】
(1)

證明:ED=EC=CF,

∵△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,

∴∠ECF=60°,∠BCA=60°,BE=AF,EC=CF,

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=EC,∠CEF=60°,

又∵ED=EC,

∴ED=EF,

∵△ABC是等腰三角形,∠BCA=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠CAF=∠CBA=60°,

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE,

∵∠CAF=∠CEF=60°,

∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓,

∴∠AEF=∠ACF,

又∵ED=EC,

∴∠D=∠BCE,∠BCE=∠ACF,

∴∠D=∠AEF,

在△EDB和△FEA中,

(AAS)

∴△EDB≌△FEA,

∴DB=AE,BE=AF,

∵AB=AE+BE,

∴AB=DB+AF


(2)

證明:AB=BD﹣AF;

延長EF、CA交于點(diǎn)G,

∵△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,

∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=EC,

又∵ED=EC,

∴ED=EF,∠EFC=∠BAC=60°,

∵∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA,

∴∠FCG=∠FEA,

又∵∠FCG=∠ECD,∠D=∠ECD,

∴∠D=∠FEA,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得

∠CBE=∠CAF=120°,

∴∠DBE=∠FAE=60°,

在△EDB和△FEA中,

(AAS)

∴△EDB≌△FEA,

∴BD=AE,EB=AF,

∴BD=FA+AB,

即AB=BD﹣AF


(3)

證明:如圖③,

,

ED=EC=CF,

∵△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,

∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,BC=AC,

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=EC,

又∵ED=EC,

∴ED=EF,

∵AB=AC,BC=AC,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=60°,

又∵∠CBE=∠CAF,

∴∠CAF=60°,

∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC

=180°﹣60°﹣60°

=60°

∴∠DBE=∠EAF;

∵ED=EC,

∴∠ECD=∠EDC,

∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC,

又∵∠EDC=∠EBC+∠BED,

∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC,

∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC,

∴∠BDE=∠AEF,

在△EDB和△FEA中,

(AAS)

∴△EDB≌△FEA,

∴BD=AE,EB=AF,

∵BE=AB+AE,

∴AF=AB+BD,

即AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:

AF=AB+BD


【解析】(1)首先判斷出△CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,AB=AE+BF,所以AB=DB+AF.(2)首先判斷出△CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA,∠FCG=∠FEA,再根據(jù)∠FCG=∠EAD,∠D=∠EAD,可得∠D=∠FEA;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,EB=AF,進(jìn)而判斷出AB=BD﹣AF即可.(3)首先根據(jù)點(diǎn)E在線段BA的延長線上,在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,然后判斷出△CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,再判斷出∠DBE=∠EAF,∠BDE=∠AEF;最后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,EB=AF,進(jìn)而判斷出AF=AB+BD即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等邊三角形的性質(zhì),需要了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是 的中點(diǎn),∠COB=60°,過點(diǎn)C作CE⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)E

(1)求證:CE為⊙O的切線;
(2)判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某養(yǎng)雞場有2500只雞準(zhǔn)備對外出售.從中隨機(jī)抽取了一部分雞,根據(jù)它們的質(zhì)量(單位:),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:

(Ⅰ)圖①中的值為 ;

(Ⅱ)求統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);

(Ⅲ) 根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)這2500只雞中,質(zhì)量為的約有多少只?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對稱軸是x=﹣1,且過點(diǎn)(﹣3,0),下列說法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),( ,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1<y2 , 其中說法正確的是(

A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣5,2).
(1)①畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1;
②畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A2B2C2;

(2)求△A2B2C2的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠BOC=9°,點(diǎn)A在OB上,且OA=1,按下列要求畫圖:

以A為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1,得第1條線段AA1;再以A1為圓心,1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2,得第2條線段A1A2;再以A2為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3,得第3條線段A2A3;…這樣畫下去,直到得第n條線段,之后就不能再畫出符合要求的線段了,則n=______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn), .將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn),連接

(1)求證: 是等邊三角形;

(2)當(dāng)時,試判斷的形狀,并說明理由;

(3)探究:當(dāng)為多少度時, 是等腰三角形?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,對角線AC平分角∠BAD,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形ABCD的面積等于_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,延長CB至M,使BM=2,連接AM,BN⊥AM于N,O是AC、BD的交點(diǎn),連接ON,則ON的長為

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案