Question

【題目】如圖1 ，一次函數(shù) (k,b為常數(shù)，k≠0)的圖象與反比例函數(shù)（m為常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點(diǎn)M(1，4)和點(diǎn)N（4，n）．

(1)填空：①反比例函數(shù)的解析式是　　　　　； ②根據(jù)圖象寫(xiě)出時(shí)自變量x的取值范圍是　　　　　　；

(2) 若將直線MN向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；

(3) 如圖2，函數(shù)的圖象（x＞0）上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，若先將直線MN平移使它過(guò)點(diǎn)C，再繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到直線PQ，PQ交軸于點(diǎn)A，交軸點(diǎn)B，若BC=2CA， 求OA·OB的值.

Answer 1

【答案】(1) ① y＝.②；(2) a＝1或a＝9.；(3) 18或2..

【解析】整體分析：

(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)求反比例函數(shù)的解析式，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)； ，即是一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方時(shí)自變量的范圍；(2)由點(diǎn)M，N的坐標(biāo)求直線MN的解析式，直線MN向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即是方程kx+b-a=的判別式等于0；(3)設(shè)點(diǎn)C(a,b)，根據(jù)BC=2CA，分三種情況討論，利用△ACH∽△ABO，結(jié)合ab=4求解.

解：(1)k=1×4=4，所以y=.

②當(dāng)y=4時(shí)，x=，則B(4，1).

根據(jù)圖象得： .

(2)點(diǎn)M(1，4)和點(diǎn)N(4，1)分別代入得

直線AB向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y＝－x＋5－a，

把y＝代入消去y，整理，得x2－(5－a)x＋4＝0.

∵平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴Δ＝(5－a)2－16＝0.

解得a＝1或a＝9.

(3)設(shè)點(diǎn)C(a,b)，則ab=4如圖1，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥OA于點(diǎn)H.

①當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸時(shí)，如圖1

∵BC=2CA，∴AB=CA.

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠1=∠2，

∴△ACH∽△ABO.

∴OB=CH=b,OA=AH=0.5a

∴.

②當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸時(shí)，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸時(shí)，

∵BC=2CA，∴.

∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO.

∴

∴.OB=3b,OA=1.5a

∴.

如圖3，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸時(shí)，BC=2CA不可能.

綜上所述，OA·OB的值為18或2.