【題目】如圖,矩形AOBC,點A、B分別在x、y軸上,對角線AB、OC交于點D,點C( ,1),點M是射線OC上一動點.

(1)求證:△ACD是等邊三角形;
(2)若△OAM是等腰三角形,求點M的坐標(biāo);
(3)若N是OA上的動點,則MA+MN是否存在最小值?若存在,請求出這個最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)證明:∵C( ,1),

∴AC=1,OA= ,

∴OC=2,

∴∠COA=30°,∠OCA=60°,

∵矩形AOBC,

∴AD=CD=OD

且∠OCA=60°

∴△ACD是等邊三角形


(2)解:△OAM是等腰三角形,

當(dāng)OM=MA時,此時點M與點D重合,

∵C( ,1),點D為OC中點,

∴M( , ).

當(dāng)OM1=OA時,做M1E⊥OA,垂足為E,如下圖:

∴OM1=OA= ,

由(1)知∠M1OA=30°,

∴M1E= ,OE= ,

∴M1 ).

當(dāng)OA=OM2時,做M2F⊥OA,垂足為F,如上圖:

AM2= ,

由(1)知∠COA=∠AM2O=30°,

∴∠M2AF=60°,

∴AF= ,M2F=

M2 , ).

綜上所述:點M坐標(biāo)為M( , )、( , )、( ,


(3)解:存在,做點A關(guān)于直線OC對稱點為G,如下圖:

則AG⊥OC,且∠GOA=60°OG=OA= ,

∴ON= ,GN=

∵點A、G關(guān)于直線OC對稱,

∴MG=MA,

∴MA+MN=MG+MN,

∵N是OA上的動點,

∴當(dāng)GN⊥x軸時,MA+MN最小,

∴存在MA+MN存在最小值,最小值為


【解析】(1)利用點C(3,1),即可求出相應(yīng)角度為30°,則∠OCA=60°,根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半,則得出了有兩邊相等,且有一個角是60°,即可證明三角形是等邊三角形;
(2)此問結(jié)合了分類討論的思想,由等腰三角形性質(zhì),對三角形OAM三邊關(guān)系進(jìn)行討論,分別求出三種情況討論,三種情況都是轉(zhuǎn)換不同的邊為底邊,另外兩邊相等,然后根據(jù)不同的情況求出點M的坐標(biāo)即可;
(3)根據(jù)最短路徑探究,做點A關(guān)于直線OC對稱點,利用對稱性可以求出最小值。
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)填空:直接寫出拋物線的解析式:_____;

(2)已知點Q是拋物線y=x2+bx+c在第四象限內(nèi)的一個動點.

①如圖,連接AQ、CQ,設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為t,△AQC的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;

②連接BQ交AC于點D,連接BC,以BD為直徑作⊙I,分別交BC、AB于點E、F,連接EF,求線段EF的最小值,并直接寫出此時Q點的坐標(biāo).

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(2)若拋物線y=x2﹣(m+2)x+2m﹣1=0與x軸有兩個交點都在x軸正半軸上,求m的取值范圍;

(3)填空:若x2﹣(m+2)x+2m﹣1=0的兩根都大于1,則m的取值范圍是_____

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【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的點,點E在AB上,且PA=PE.

(1)求證:PC=PE;
(2)求∠CPE的度數(shù);
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小芳:我們學(xué)校八年級師生昨天在這個客運公司租用460座和245座的客車到韶山參觀,一天的租金共計5000元.

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根據(jù)以上對話,解答下列問題:

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(2)若點M的坐標(biāo)為(1,0),如圖①,以O(shè)M為一邊作等腰△OMP,使點P落在長方形ABCD的一邊上,則符合條件的等腰三角形有幾個?請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo).
(3)若將(2)中的點M的坐標(biāo)改為(4,0),其它條件不變,如圖②,那么符合條件的等腰三角形有幾個?求出所有符合條件的點P的坐標(biāo).

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