Question

【題目】綜合與實踐：

動手操作：如圖1，四邊形是一張矩形紙片，，，點，分別在，邊上，且，連接，.將，分別沿，折疊，點，分別落在點，處.

探究展示：

（1）“刻苦小組”發(fā)現：，且，并展示了如下的證明過程.

證明：在矩形中，，，.

又∵，

∴.

∴，.

∵，

∴.（依據1）

∴.

∴.（依據2）

反思交流：①上述證明過程中的“依據1”與“依據2”分別指什么？

②“勤奮小組”認為：還可以通過證明四邊形是平行四邊形獲證，請你根據“勤奮小組”的證明思路寫出證明過程.

猜想證明：

（2）如圖2，折疊過程中，當點，在直線的同側時，延長交于點，延長交于點，則四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由.

聯想拓廣：

（3）如圖3，連接，，.

①當時，的長為________；

②的長有最大值嗎？若有，請你直接寫出長的最大值和此時四邊形的形狀；若沒有，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①見解析②見解析；（2）矩形，理由見解析；（3）① ②有；；菱形

【解析】

（1）①根據平行線的判定與性質即可得解；

②由矩形的性質進行等量轉換得出，即可判定四邊形是平行四邊形，即可得證；

（2）首先由對折的性質得出，，然后利用，進行等量轉換，得出，即可判定四邊形是矩形；

（3）①延長C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，利用△A′GE≌△C′HF，得出AG=BH=4，再利用勾股定理構建方程，即可得出AE；

②當⊥BD時，的長有最大值，利用菱形的性質以及勾股定理即可得解.

（1）①“依據1”指兩直線平行，內錯角相等；

“依據2”指同位角相等，兩直線平行.

②證明：在矩形中，，.

又∵，

∴，即.

∴四邊形是平行四邊形.

∴，且.

（2）四邊形是矩形，

延長，交于點，如下圖.

由對折可知，.

∵，

∴.

同理，.

由（1）得，，

∴.

由對折可知，，.

∴

在中，.

在矩形中，，即.

∴.

∴.

∴.

∴.

∴四邊形是矩形.

（3）①延長C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，如圖所示：

∵

∴GH∥AB

∴∠A′GE=∠C′HF=90°，AG=BH

∵∠EA′G=∠FC′H，A′E=C′F

∴△A′GE≌△C′HF

∴EG=FH

∵AE=CF

∴AG=CH

∴AG=BH=4

∴

∴

設AE=x，則EG=4-x，

在Rt△A′EG中，

即

解得，即AE=；

②當⊥BD時，的長有最大值，最大值為，此時四邊形是菱形.