Question

如圖，點(diǎn)D是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），以AD、BD為邊在AB同側(cè)作等邊△ADC，等邊△BDE．
（1）如果點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，連接AE，BC分別交于CD、DE于點(diǎn)M、N點(diǎn)，如圖①
①求證：點(diǎn)M，N分別是AE、BC的中點(diǎn)；
②連接MN，判斷△MDN的形狀（直接寫出答案）；
（2）如果點(diǎn)D不是線段AB的中點(diǎn)，如圖②連接AE、BC．且點(diǎn)M、N分別是AE、BC的中點(diǎn)，（1）中②的結(jié)論還成立嗎？為什么？請(qǐng)加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①易證∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，即可求得∠CDE=60°，可得∠DAM=30°，即可求得∠AMD=90°，根據(jù)等邊三角形三線合一性質(zhì)即可解題；
②連接MN，易證DM=DN，和∠CDE=60°，即可判定△DMN是等邊三角形；
（2）易證∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，即可求得∠CDE=60°，即可證明△ADE≌△CDB，可得∠AED=∠CBD，AE=BC，可證BN=EM，即可證明△BDN≌△EDM，可得∠MDE=∠NDB，DM=DN，即可求得∠MDN=∠EDB=60°，即可判定△DMN是等邊三角形．

解答：證明：（1）①∵△ADC，△BDE均為等邊三角形，
∴∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，
∴∠CDE=60°，
∵AD=BD，
∴AD=DE，
∴∠DAM=30°，
∴∠AMD=90°，
∴M是CD中點(diǎn)，同理N是DE中點(diǎn)；
②連接MN，

∵DM=

1

2

CD，DN=

1

2

DE，CD=DE，
∴DM=DN，
∵∠CDE=60°，
∴△DMN是等邊三角形；
（2）∵△ADC，△BDE均為等邊三角形，
∴∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，
∴∠CDE=60°，
在△ADE和△CDB中，

AD=CD ∠ADE=∠CDB=120° DE=BD

，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠AED=∠CBD，AE=BC，
∵點(diǎn)M、N分別是AE、BC的中點(diǎn)，
∴BN=EM，
在△BDN和△EDM中，

DE=BD ∠CBD=∠AED BN=ME

，
∴△BDN≌△EDM（SAS），
∴∠MDE=∠NDB，DM=DN，
∵∠MDE=∠MDN+∠NDE，∠NDB=∠EDB+∠NDE，
∴∠MDN=∠EDB=60°，
∴△DMN是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDB和△BDN≌△EDM是解題的關(guān)鍵．