Question

已知：△ABC與△EDF都是腰長為9的等腰直角三角形，如圖1擺放．固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當DE與AB重合時，旋轉(zhuǎn)中止．在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交直線BC于G、H，如圖2．
（1）請寫出圖2中所有與△AGC相似的三角形：

△HGA、△HAB

，選擇其一說明理由；
（2）當△AGH為等腰三角形時，請直接寫出CG的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC與△EFD為等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）此題要采用分類討論的思想分三種情況①CG＜

1

2

BC，②CG=

1

2

BC時，③CG＞

1

2

BC時分別得出即可．

解答：（1）答：△HGA、△HAB，
證明：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，
∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，
∠AGB=∠GAH+∠H，
∵∠ACB=∠GAH=45°，
∴∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HGA；
故答案為：△HGA、△HAB．

（2）解：當①CG＜

1

2

BC，∠GAC=∠H＜∠HAG，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此時，△AGH不可能是等腰三角形，
②當CG=

1

2

BC時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形，
此時，GC=

9

2

2

，
③CG＞

1

2

BC時，由（1）△AGC∽△HGA，
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH，
若AG=AH，則AC=CG，此時x=9，
如圖（3），當CG=BC時，
注意：DF才旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，
此時B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
所以△AGH為等腰三角形，所以CG=9

2

，
綜上所述，當△AGH為等腰三角形時，CG=9或9

2

或

9

2

2

．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難易程度適中，是一道很典型的題目．