Question

1．（1）問題探究：
如圖1，△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，則線段BD與CE的數(shù)量關系是相等．
（2）類比延伸
如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，連接BD、CE，試確定BD與CE的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）拓展遷移
如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC=BC，CD=4，若將線段DA繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA′，連接BA′，則線段BA′的長度是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，可得∠EAC=∠DAB，易得△EAC≌△DAB，由全等三角形的性質(zhì)可得BD=CE；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和和直角三角形的性質(zhì)得到∠EAD=∠CAB=60°，AD=2AE，AB=2AC，推出△EAD∽△CAB，得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，于是得到△EAC∽△DAB，求得$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}$=2，即可得到結論；
（3）首先證明△ABC和△AA′D為等腰直角三角形，從而求得AB：AC=$\sqrt{2}$，$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，然后再證明∠A′AB=∠DAC，從而可證明△CAD∽△BA′A，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求得A′B的長度．

解答 解：（1）∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，
∴∠EAC=60°-∠CAD，∠DAB=60°-∠CAD，
∴∠EAC=∠DAB，
在△EAC與△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAB，
∴BD=CE；

（2）BD=2CE，
理由：∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
∴∠EAD=∠CAB=60°，AD=2AE，AB=2AC，
∴∠EAC=∠DAB，△EAD∽△CAB，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
∴△EAC∽△DAB，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}$=2，
∴BD=2CE；

（3）連接A′A，如圖③，
∵AC⊥BC，且AC=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形．
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$，
∵將線段DA繞點D按逆時針方形旋轉(zhuǎn)90°得到DA′
∴△AA′D為等腰直角三角形．
∴△ABC∽△AA′D．
∴$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
又∵∠CAB=∠A′AD，
∴∠A′AB=∠DAC，
∵$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AA′}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴△CAD∽△BA′A．
∴$\frac{A′B}{CD}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{A′B}{4}=\sqrt{2}$，
∴A′B=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及判定定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，證得相似三角形是解題的關鍵．