Question

【題目】綜合與實(shí)踐：

如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊），與y軸交于點(diǎn)A，連接AC，AB．

（1）求證：AO2=BOCO；

（2）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)N作MN∥AC，交AB于點(diǎn)M，求當(dāng)△AMN的面積取得最大值時(shí)，直線AN的表達(dá)式．

（3）連接OM，在（2）的結(jié)論下，試判斷OM與AN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）y=﹣x+4；（3）OM2=AN．

【解析】試題分析：（1）由分別令求得的坐標(biāo)，即可證明.

（2）設(shè)點(diǎn)則由NM∥AC，可求得 可用表示出的面積，則可用表示出的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)的值，即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而用待定系數(shù)法求得直線AN的表達(dá)式.
（3）由N點(diǎn)坐標(biāo)可求得M點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可得

在和中，可分別求得AB和的長(zhǎng)，可求得的長(zhǎng)度，從而可得到OM和的數(shù)量關(guān)系．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， 整理得： 解得：

∴

令得：

∴

∴

∴

（2）設(shè)點(diǎn) 則

∵MN∥AC，

∵

∴當(dāng)時(shí)，即 的面積最大．

設(shè)直線AN的表達(dá)式為

將點(diǎn)A和N的坐標(biāo)代入得： 解得．

∴直線AN的表達(dá)式為

（3）

∴N為線段的中點(diǎn)．

∵MN∥AC，

∴M為AB的中點(diǎn)，

∴

∵

∴

∵

即OM與AN的數(shù)量關(guān)系是