【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于A、B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交于點C0,﹣3

1)求拋物線的解析式;

2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動,當四邊形ABPC的面積最大時,求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

3)直線l經(jīng)過A、C兩點,點Q在拋物線位于y軸左側的部分上運動,直線m經(jīng)過點B和點Q,是否存在直線m,使得直線l、mx軸圍成的三角形和直線l、my軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由.

【答案】(1;(2P點坐標為(, )時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為;(3)存在,

【解析】試題分析:(1)由B、C兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;

2)連接BC,則△ABC的面積是不變的,過PPM∥y軸,交BC于點M,設出P點坐標,可表示出PM的長,可知當PM取最大值時△PBC的面積最大,利用二次函數(shù)的性質可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積;

3)設直線my軸交于點N,交直線l于點G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以當△AGB△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB=90°,則可證得△AOC≌△NOB,可求得ON的長,可求出N點坐標,利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式.

試題解析:

1)把BC兩點坐標代入拋物線解析式可得: ,解得: ,拋物線解析式為;

2)如圖1,連接BC,過Py軸的平行線,交BC于點M,交x軸于點H,

中,令y=0可得,解得x=﹣1x=3A點坐標為(﹣1,0),AB=3﹣﹣1=4,且OC=3SABC=ABOC=×4×3=6,B30),C0﹣3),直線BC解析式為y=x﹣3,設P點坐標為(x,),則M點坐標為(xx﹣3),P點在第四限,PM==,SPBC=PMOH+PMHB=PMOH+HB=PMOB=PM,PM有最大值時,PBC的面積最大,則四邊形ABPC的面積最大,PM==,x=時,PMmax=,則SPBC==,此時P點坐標為(, ),S四邊形ABPC=SABC+SPBC=6+=,即當P點坐標為(, )時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為

3)如圖2,設直線my軸于點N,交直線l于點G,則AGP=GNC+GCN,當AGBNGC相似時,必有AGB=CGB,又AGB+CGB=180°,∴∠AGB=CGB=90°,∴∠ACO=OBN,在RtAONRtNOB中,∵∠AOC=NOB,OC=OB,ACO=NBO,RtAONRtNOBASA),ON=OA=1,N點坐標為(0,﹣1),設直線m解析式為y=kx+d,把BN兩點坐標代入可得,解得:,直線m解析式為,即存在滿足條件的直線m,其解析式為

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