Question

6．如圖1，在△ABC中，∠B=60°，點M從點B出發(fā)沿射線BC方向，在射線BC上運動．在點M運動的過程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在射線BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．
（1）當(dāng)∠BAM=30°時，AB=2BM；
（2）請?zhí)砑右粋�條件：AB=AC，使得△ABC為等邊三角形；
①如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求證：BM=CN；
②如圖2，當(dāng)點M運動到線段BC之外時，其它條件不變，①中結(jié)論BM=CN還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）利用等邊三角形的判定解答；
①利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；
②利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)∠BAM=30°時，
∴∠AMB=180°-60°-30°=90°，
∴AB=2BM；
故答案為：30；
（2）添加一個條件AB=AC，可得△ABC為等邊三角形；
故答案為：AB=AC；
①∵△ABC與△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM與△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM=CN；
②成立，理由如下；
∵△ABC與△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM與△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM=CN．

點評 此題考查三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)進行解答．