Question

用火柴棒按下圖的方式搭三角形．

（1）填寫下表：

圖形序號(hào)數(shù)	①	②	③	④	…
小三角形的個(gè)數(shù)	1	4
所需火柴棒的根數(shù)	3	9

（2）根據(jù)你的探究，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴棒？
（3）當(dāng)n=100時(shí)，需要多少根火柴棒？

Answer 1

分析：觀察圖形，找規(guī)律，去掉重復(fù)火柴的三角形可以發(fā)現(xiàn)，三角形增加的個(gè)數(shù)以等差數(shù)列的形式遞增，運(yùn)用累加法可以求出第n個(gè)圖案的三角形個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出火柴棒數(shù)．

解答：解：（1）結(jié)合圖形：第一個(gè)為1個(gè)三角形，第二個(gè)為4個(gè)三角形，第三個(gè)為9個(gè)三角形，第四個(gè)為16個(gè)三角形，
去掉重復(fù)火柴的三角形，可以看成第一個(gè)為1個(gè)三角形，第二個(gè)為3個(gè)三角形，第三個(gè)為6個(gè)三角形，第四個(gè)為10個(gè)三角形．
如圖：

圖形序號(hào)數(shù)	①	②	③	④	…
小三角形的個(gè)數(shù)	1	4	9	16
所需火柴棒的根數(shù)	3	9	18	30

（2）由上可以得出規(guī)律，第n個(gè)圖案比前一個(gè)多n個(gè)三角形，設(shè)第n個(gè)有a_n個(gè)三角形，則a_n-a_n-1=n，
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
a₄-a₃=4，
…
a_n-a_n-1=n．
方程前邊加起來(lái)得：a_n-a₁=2+3+4+…+n，
∴a_n=1+2+3+4+…+n，
∴a_n=

n(n+1)

2

．
所以有

3n(n+1)

2

根火柴．

（3）當(dāng)n=100時(shí)，需要火柴棒的根數(shù)：

3n(n+1)

2

=

3×100×(100+1)

2

=15150根．
故當(dāng)n=100時(shí)，需要15150根火柴棒．

點(diǎn)評(píng)：考查了規(guī)律型：圖形的變化．注意：①本題是規(guī)律性題目，要求具備較高的觀察總結(jié)能力，合理利用所學(xué)知識(shí)求解．
②在做題過(guò)程中要合理利用轉(zhuǎn)換思想，可以簡(jiǎn)化求解．