Question

14．如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線(xiàn)的函數(shù)值大于零；
（3）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線(xiàn)上，求點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線(xiàn)y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可確定拋物線(xiàn)的解析式；
（2）由拋物線(xiàn)解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖象，即可得出結(jié)果；
（3）由于點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線(xiàn)上，把D的坐標(biāo)代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用對(duì)稱(chēng)就可以求出關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解之得：a=-1，b=3，
∴y=-x²+3x+4；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+3x+4=0，
解得：x=-1，或x=4，
∴B（4，0），
由二次函數(shù)的圖象得：當(dāng)-1＜x＜4，y＞0，
即-1＜x＜4時(shí)，拋物線(xiàn)的函數(shù)值大于零；
（3）如圖所示：
∵點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線(xiàn)上，
∴把D的坐標(biāo)代入（1）中的解析式得：
m+1=-m²+3m+4，
解得：m=3或m=-1（舍去），
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=-x²+3x+4=0，x=-1或x=4，
∴B（4，0）
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E點(diǎn)在y軸上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，由待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．