Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點O為坐標(biāo)原點，點C在x軸的正半軸上，且BC⊥OC于點C，點A的坐標(biāo)為（2，2

3

），AB=4

3

，∠B=60°，點D是線段OC上一點，且OD=4，連接AD．
（1）求證：△AOD是等邊三角形；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）平行于AD的直線l從原點O出發(fā)，沿x軸正方向平移．設(shè)直線l被四邊形OABC截得的線段長為m，直線l與x軸交點的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)直線l與x軸的交點在線段CD上（交點不與點C，D重合）時，請直接寫出m與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量t的取值范圍）
②若m=2，請直接寫出此時直線l與x軸的交點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),解直角三角形的應(yīng)用

專題：綜合題

分析：（1）過點A作AM⊥x軸于點M，根據(jù)已知條件，依據(jù)三角函數(shù)求得∠AOM=60°，根據(jù)勾股定理求得OA=4，即可求得．
（2）過點A作AN⊥BC于點N，則四邊形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)求得AN、BN的值，從而求得OC、BC的長，得出點B的坐標(biāo)．
（3）①如圖3，因為∠B=60°，BC=4

3

，所以PC=12，EM=

3

2

m，因為OC=8，所以PO=4，OF=t，MF=t-

1

2

m，所以PM=4+（t-

1

2

m），根據(jù)△PME∽△PCB即可求得m=

1

2

t+2；
②如圖4，△OEF是等邊三角形所以O(shè)F=EF=m=2，在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°，所以BP=PE′÷sin∠B=

4

3

3

，PC=4

3

-

4

3

3

=

8

3

3

，根據(jù)勾股定理求得CF′=

8

3

，所以O(shè)F′=8+

8

3

=

32

3

．

解答：解：（1）如圖2，證明：過點A作AM⊥x軸于點M，

∵點A的坐標(biāo)為（2，2

3

），
∴OM=2，AM=2

3

∴在Rt△AOM中，tan∠AOM=

AM

OM

=

2 3

2

=

3

∴∠AOM=60°
由勾股定理得，OA=

OM2+AM2

=

22+(2 3 )2

=4
∵OD=4，
∴OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形．

（2）如圖2，解：過點A作AN⊥BC于點N，
∵BC⊥OC，AM⊥x軸，
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°
∴四邊形ANCM為矩形，
∴AN=MC，AM=NC，
∵∠B=60°，AB=4

3

，
∴在Rt△ABN中，
AN=AB•sinB=4

3

×

3

2

=6，
BN=AB•cosB=4

3

×

1

2

=2

3

∴AN=MC=6，CN=AM=2

3

，
∴OC=OM+MC=2+6=8，
BC=BN+CN=2

3

+2

3

=4

3

，
∴點B的坐標(biāo)為（8，4

3

）．


（3）①如圖3，m=

1

2

t+2；
②如圖4，（2，0），（

32

3

，0）．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角函數(shù)的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用．