【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),且BE=DF,連接EF交BD于O.

(1)求證:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延長EF交AD的延長線于G,當(dāng)FG=1時(shí),求AE的長.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴DC∥AB,

∴∠OBE=∠ODF.

在△OBE與△ODF中,

∴△OBE≌△ODF(AAS).

∴BO=DO.


(2)

解:∵EF⊥AB,AB∥DC,

∴∠GEA=∠GFD=90°.

∵∠A=45°,

∴∠G=∠A=45°.

∴AE=GE

∵BD⊥AD,

∴∠ADB=∠GDO=90°.

∴∠GOD=∠G=45°.

∴DG=DO,

∴OF=FG=1,

由(1)可知,OE=OF=1,

∴GE=OE+OF+FG=3,

∴AE=3.


【解析】1)由平行四邊形的性質(zhì)和AAS證明△OBE≌△ODF,得出對應(yīng)邊相等即可;(2)證出AE=GE,再證明DG=DO,得出OF=FG=1,即可得出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對角線互相平分.

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