Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．
（1）求證：AE=2CE；
（2）求證：DE=EC．

Answer 1

分析 （1）首先連接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度數(shù)，又由AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，繼而可求得∠CBE的度數(shù)，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證得AE=2CE；
（2）通過BE=AE，得到∠ABE=∠A=30°，求得∠CBE=∠ABE=30°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE；

（2）∵BE=2CE，AE=2CE；
∴BE=AE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABE=30°，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CE．

點(diǎn)評 此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．