【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y=ax2+bx+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D(0,4),AB=4 ,設(shè)點(diǎn)F(m,0)是x軸的正半軸上一點(diǎn),將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C′.
(1)求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求m的取值范圍.
(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn),它到兩坐標(biāo)軸的距離相等,點(diǎn)P在拋物線C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′,設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn),N是C′上的動(dòng)點(diǎn),試探究四邊形PMP′N能否成為正方形?若能,求出m的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:由題意拋物線的頂點(diǎn)C(0,4),A(2 ,0),設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4,
把A(2 ,0)代入可得a=﹣ ,
∴拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣ x2+4
(2)
解:由題意拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,﹣4),設(shè)拋物線C′的解析式為y= (x﹣m)2﹣4,
由 ,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,
由題意,拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),
則有 ,解得2<m<2 ,
∴滿足條件的m的取值范圍為2<m<2
(3)
解:結(jié)論:四邊形PMP′N能成為正方形.
理由:1情形1,如圖,作PE⊥x軸于E,MH⊥x軸于H.
由題意易知P(2,2),當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí),四邊形PMP′N是正方形,
∴PF=FM,∠PFM=90°,
易證△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,
∴M(m+2,m﹣2),
∵點(diǎn)M在y=﹣ x2+4上,
∴m﹣2=﹣ (m+2)2+4,解得m= ﹣3或﹣ ﹣3(舍棄),
∴m= ﹣3時(shí),四邊形PMP′N是正方形.
情形2,如圖,四邊形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),
把M(m﹣2,2﹣m)代入y=﹣ x2+4中,2﹣m=﹣ (m﹣2)2+4,解得m=6或0(舍棄),
∴m=6時(shí),四邊形PMP′N是正方形
【解析】(1)由題意拋物線的頂點(diǎn)C(0,4),A(2 ,0),設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4,把A(2 ,0)代入可得a=﹣ ,由此即可解決問(wèn)題;(2)由題意拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,﹣4),設(shè)拋物線C′的解析式為y= (x﹣m)2﹣4,由 ,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,由題意,拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則有 ,解不等式組即可解決問(wèn)題;(3)情形1,四邊形PMP′N能成為正方形.作PE⊥x軸于E,MH⊥x軸于H.由題意易知P(2,2),當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí),四邊形PMP′N是正方形,推出PF=FM,∠PFM=90°,易證△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得M(m+2,m﹣2),理由待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題;情形2,如圖,四邊形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】八年級(jí)(1)班研究性學(xué)習(xí)小組為研究全校同學(xué)課外閱讀情況,在全校隨機(jī)邀請(qǐng)了部分同學(xué)參與問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)同學(xué)們一個(gè)月閱讀課外書(shū)的數(shù)量,并繪制了以下統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)圖中信息解決下列問(wèn)題:
(1)共有多少名同學(xué)參與問(wèn)卷調(diào)查;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)全校共有學(xué)生1500人,請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)月閱讀2本課外書(shū)的人數(shù)約為多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015桂林)“全民閱讀”深入人心,好讀書(shū),讀好書(shū),讓人終身受益.為滿足同學(xué)們的讀書(shū)需求,學(xué)校圖書(shū)館準(zhǔn)備到新華書(shū)店采購(gòu)文學(xué)名著和動(dòng)漫書(shū)兩類圖書(shū).經(jīng)了解,20本文學(xué)名著和40本動(dòng)漫書(shū)共需1520元,20本文學(xué)名著比20本動(dòng)漫書(shū)多440元(注:所采購(gòu)的文學(xué)名著價(jià)格都一樣,所采購(gòu)的動(dòng)漫書(shū)價(jià)格都一樣).
(1)求每本文學(xué)名著和動(dòng)漫書(shū)各多少元?
(2)若學(xué)校要求購(gòu)買動(dòng)漫書(shū)比文學(xué)名著多20本,動(dòng)漫書(shū)和文學(xué)名著總數(shù)不低于72本,總費(fèi)用不超過(guò)2000元,請(qǐng)求出所有符合條件的購(gòu)書(shū)方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知線段AB=16 cm,點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A,B重合),點(diǎn)D,E分別是AC和BC的中點(diǎn).
(1)求DE的長(zhǎng);
(2)知識(shí)遷移:如圖②,已知∠AOB=130°,過(guò)角的內(nèi)部任一點(diǎn)C畫(huà)射線OC,若OD,OE分別平分∠AOC和∠BOC,試說(shuō)明∠DOE的大小與射線OC的位置無(wú)關(guān).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)先化簡(jiǎn),再求值: 2(m2 mn 1) 3(m2 2mn 4) ,其中 m ,n 3 .
(2)已知 2a b 5 0 ,求整式 6a b 與 2a 3b 27 的和的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.
(1)直接寫(xiě)出∠AFC的度數(shù): ;
(2)請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它條件不變,試判斷線段AE、CD與AC之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、D、F、B在同一直線上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.
求證:(1)EF=CD;(2)EF∥CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店經(jīng)銷某種玩具,該玩具每個(gè)進(jìn)價(jià) 20 元,為進(jìn)行促銷,商店制定如下“優(yōu)惠” 方案:如果一次銷售數(shù)量不超過(guò) 5 個(gè),則每個(gè)按 50 元銷售:如果一次銷售數(shù)量超過(guò) 5 個(gè),則每增加一個(gè),所有玩具均降低 1 元銷售,但單價(jià)不得低于 30 元,一次銷售該玩具的單價(jià) y(元)與銷售數(shù)量 x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示.
(1)結(jié)合圖形,求出 m 的值;射線 BC 所表示的實(shí)際意義是什么;
(2)求線段 AB 滿足的 y 與 x 之間的函數(shù)解析式,并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍;
(3)當(dāng)銷售 15 個(gè)時(shí),商店的利潤(rùn)是多少元.
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