Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．

（操作）（1）將△ABD繞點D沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形．

（探究）（2）結(jié)合所畫圖形探究BD與AB，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（應(yīng)用）（3）若AB=6，BC=8，試求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD2=AB2+BC2，見解析；（3）

【解析】

（1）分別利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)畫出A，B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，而D為旋轉(zhuǎn)中心與自身對應(yīng)，然后順次連接三對應(yīng)點得到答案．

（2）連接BE，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明△DBE是等邊三角形，再證明為直角三角形，利用等量代換可以得到答案．

（3）利用（2）的結(jié)論求BD，再求等邊三角形DBE的面積，直角三角形BEC的面積，利用圖形旋轉(zhuǎn)前后面積不變，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為等邊三角形DBE的面積減去直角三角形BEC的面積即可．

（1）如圖，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作 ，然后在角的邊上截取，得A的對應(yīng)點C，B的對應(yīng)點E，順次連接D，C，E得到旋轉(zhuǎn)后的．

【探究】

（2）BD與AB，BC數(shù)量關(guān)系：BD2=AB2+BC2

理由：連接BE

由旋轉(zhuǎn)可知

∠DCE=∠A,CE=AB

DE=DB，∠BDE=60°，

∴△DBE是等邊三角形

∴BE=DB

∵∠ADC+∠ABC=60°+30°=90°

∴∠A +∠DCB=360°-90°=270°

∠DCE +∠DCB=270°

∴∠ECB=90°

∴BC2+CE2=BE2

∴BD2=AB2+BC2

【應(yīng)用】

（3）因為BD2=AB2+BC2　　AB=6，BC=8

所以BD=10，又△DBE是等邊三角形

所以，

因為∠ECB=90°

所以△BCE的面積為24，

由旋轉(zhuǎn)可知:

S四邊形ABCD= S△DBE- S△BCE

=