Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣5，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖1，點E（x，y）為拋物線上一點，且﹣5＜x＜﹣2，過點E作EF∥x軸，交拋物線的對稱軸于點F，作EH⊥x軸于點H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周長的最大值；

（3）如圖2，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使以點P，A，C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+5．（2）；（3）P坐標(biāo)為（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（3）分三種情形分別求解①當(dāng)由 列出方程即可解決．②當(dāng)時，由 列出方程即可解決．③當(dāng) 時，由列出方程即可；

試題解析：(1)把A(5,0),B(1,0)兩點坐標(biāo)代入

得到

解得

∴拋物線的函數(shù)表達式為

(2)如圖1中，

∵拋物線的對稱軸x=2,

∴

∴矩形EFDH的周長

∵2<0，

∴時,矩形EHDF的周長最大,最大值為

(3)如圖2中,設(shè)P(2,m)

①當(dāng) ∵

∴

解得m=7，

∴P1(2,7).

②當(dāng)時,∵

∴

解得m=3，

∴P2(2,3).

③當(dāng)時,∵

∴

解得m=6或1，

∴P3(2,6),P4(2,1)，

綜上所述,滿足條件的點P坐標(biāo)為(2,7)或(2,3)或(2,6)或(2,1).