【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=(a≠0)的圖象在第一象限交于A、B兩點,A點的坐標(biāo)為(m,4),B點的坐標(biāo)為(3,2),連接OA、OB,過B作BD⊥y軸,垂足為D,交OA于C.若OC=CA,
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(2)求△AOB的面積;
(3)在直線BD上是否存在一點E,使得△AOE是直角三角形,求出所有可能的E點坐標(biāo).
【答案】(1)y=,y=﹣x+6;(2).(3)E坐標(biāo)為(﹣,2)或(,2)或(,2)或(,2).
【解析】
(1)先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式,進而確定出點A的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式;
(2)過點A作AF⊥x軸于F交OB于G,先求出OB的解析式,進而求出AG,用三角形的面積公式即可得出結(jié)論.
(3)分三種情形分別討論求解即可解決問題;
解:(1)∵點B(3,2)在反比例函數(shù)y=的圖象上,
∴a=3×2=6,
∴反比例函數(shù)的表達式為y=,
∵點A的縱坐標(biāo)為4,
∵點A在反比例函數(shù)y=圖象上,
∴A(,4),
∴,∴,
∴一次函數(shù)的表達式為y=﹣x+6;
(2)如圖1,過點A作AF⊥x軸于F交OB于G,
∵B(3,2),
∴直線OB的解析式為y=x,
∴G(,1),
A(,4),
∴AG=4﹣1=3,
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=×3×3=.
(3)如圖2中,
當(dāng)∠AOE1=90°時,∵直線AC的解析式為y=x,
∴直線OE1的解析式為y=﹣x,
當(dāng)y=2時,x=﹣,
∴E1(﹣,2).
當(dāng)∠OAE2=90°時,
直線OE1平行直線OE2
設(shè)直線OE2的解析式為y=﹣x+b,
∴直線過點A(,4),則b=
∴直線OE2的解析式為y=﹣x+,
當(dāng)y=2時,x=,
∴E2(,2).
當(dāng)∠OEA=90°時,
∵A(,4),∴OA=
∴AC=OC=CE=,
∵C(,2),
∴可得E3(,2),E4(,2),
綜上所述,滿足條件的點E坐標(biāo)為(﹣,2)或(,2)或(,2)或(,2).
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【題目】如圖,用細線懸掛一個小球,小球在豎直平面內(nèi)的A、C兩點間來回擺動,A點與地面距離AN=14cm,小球在最低點B時,與地面距離BM=5cm,∠AOB=66°,求細線OB的長度.(參考數(shù)據(jù):sin66°≈0.91,cos66°≈0.40,tan66°≈2.25)
【答案】15cm
【解析】
試題設(shè)細線OB的長度為xcm,作AD⊥OB于D,證出四邊形ANMD是矩形,得出AN=DM=14cm,求出OD=x-9,在Rt△AOD中,由三角函數(shù)得出方程,解方程即可.
試題解析:設(shè)細線OB的長度為xcm,作AD⊥OB于D,如圖所示:
∴∠ADM=90°,
∵∠ANM=∠DMN=90°,
∴四邊形ANMD是矩形,
∴AN=DM=14cm,
∴DB=14﹣5=9cm,
∴OD=x﹣9,
在Rt△AOD中,cos∠AOD=,
∴cos66°==0.40,
解得:x=15,
∴OB=15cm.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知:如圖,在半徑為的中,、是兩條直徑,為的中點,的延長線交于點,且,連接。.
(1)求證:;
(2)求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個整數(shù),將其末三位截去,這個末三位數(shù)與余下的數(shù)的7倍的差能被19整除,則這個數(shù)能被19整除,否則不能被19整除,能被19整除的我們稱之為“靈異數(shù)”.
如46379,由,能被19整除,能被19整除,是“靈異數(shù)”.
請用上述規(guī)則判斷52478和9115是否為“靈異數(shù)”;
有一個首位數(shù)字是1的五位正整數(shù),它的個位數(shù)字不為0且是千位數(shù)字的2倍,十位和百位上的數(shù)字之和為8,若這個數(shù)恰好是“靈異數(shù)”,請求出這個數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某文具店購進一批紀念冊,每本進價為20元,出于營銷考慮,要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y(本)與每本紀念冊的售價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系:當(dāng)銷售單價為22元時,銷售量為36本;當(dāng)銷售單價為24元時,銷售量為32本.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時,每本紀念冊的銷售單價是多少元?
(3)設(shè)該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元,將該紀念冊銷售單價定為多少元時,才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,O點在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線,與AB的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△PBD∽△DCA;
(3)當(dāng)AB=6,AC=8時,求線段PB的長.
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【題目】甲、乙兩人進行羽毛球比賽,羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分,如圖,甲在點上正方的處發(fā)出一球,羽毛球飛行的高度與水平距離之間滿足函數(shù)表達式.已知點與球網(wǎng)的水平距離為,球網(wǎng)的高度為.
(1)當(dāng)時,①求的值.②通過計算判斷此球能否過網(wǎng).
(2)若甲發(fā)球過網(wǎng)后,羽毛球飛行到點的水平距離為,離地面的高度為的處時,乙扣球成功,求的值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,四邊形OABC是矩形,OA在x軸的負半軸上,OC在y軸的正半軸上.
Ⅰ若,.
如圖1,將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形,當(dāng)點A的對應(yīng)點落在BC邊上時,求點的坐標(biāo);
如圖,將矩形OABC繞點O順時針方向旋得到矩形,當(dāng)點B的對應(yīng)點落在軸的正半軸上時,求點的坐標(biāo);
Ⅱ若,,如圖3,設(shè)邊與BC交于點E,若,請直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2,寬為1的矩形CEFD拼在一起,構(gòu)成一個大的矩形ABEF,現(xiàn)將小矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)當(dāng)點D′恰好落在EF邊上時,求旋轉(zhuǎn)角α的值;
(2)如圖2,G為BC中點,且0°<α<90°,求證:GD′=E′D.
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【題目】對于某一函數(shù)給出如下定義:若存在實數(shù)p,當(dāng)其自變量的值為p時,其函數(shù)值等于p,則稱p為這個函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時,該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地,當(dāng)函數(shù)只有一個不變值時,其不變長度q為零.例如:下圖中的函數(shù)有0,1兩個不變值,其不變長度q等于1.
(1)分別判斷函數(shù)y=x-1,y=x-1,y=x2有沒有不變值?如果有,直接寫出其不變長度;
(2)函數(shù)y=2x2-bx.
①若其不變長度為零,求b的值;
②若1≤b≤3,求其不變長度q的取值范圍;
(3) 記函數(shù)y=x2-2x(x≥m)的圖象為G1,將G1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2,函數(shù)G的圖象由G1和G2兩部分組成,若其不變長度q滿足0≤q≤3,則m的取值范圍為 .
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