Question

【題目】如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的矩形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的矩形ABEF，現(xiàn)將小矩形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的值；

（2）如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：GD′＝E′D．

Answer 1

【答案】（1）∠α＝30°；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，則∠CD′E＝30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α＝30°；（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG＝CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′CE，則∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′＝E′D．

（1）解：∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴CD′＝CD＝2，

在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，

∴∠CD′E＝30°，

∵CD∥EF，

∴∠α＝30°；

（2）證明：∵G為BC中點(diǎn)，

∴CG＝1，

∴CG＝CE，

∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG，

∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，

在△GCD′和△E′CD中

，

∴△GCD′≌△E′CD（SAS），

∴GD′＝E′D．