Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似（不包括全等）？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知 ．解得 ．

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣

（2）解：將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．

設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，則 ．

解得 ．

∴直線MA的表達(dá)式為y= x+1．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）．

DF=

= ．

當(dāng) 時(shí)，DF的最大值為 ．

此時(shí) ，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）

（3）解：存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似．設(shè)P（m， ）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個(gè)三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限．

①設(shè)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3AN，

∴ ，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)不存在．

②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MA上，∴只能PN=3AN，

∴ ，即m2+11m+24=0．

解得m=﹣3或m=﹣8．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）．

③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，若AN=3PN時(shí)，則﹣3 ，即m2+m﹣6=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=2．

當(dāng)m=2時(shí)， ．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣ ）．

若PN=3NA，則﹣ ，即m2﹣7m﹣30=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，﹣39）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）、（2，﹣ ）、（10，﹣39）．

【解析】（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組 ，通過(guò)解該方程組即可求得系數(shù)的值；（2）由（1）中的拋物線解析式易求點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關(guān)系式為y= x+1．由題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）．易求DF= = ．根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來(lái)求線段DF的最大值；（3）需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：點(diǎn)P分別位于第一、二、三、四象限四種情況．此題主要利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答．