Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點M．

（1）求拋物線的表達式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似（不包括全等）？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知 ．解得 ．

∴拋物線的表達式為y=﹣

（2）解：將x=0代入拋物線表達式，得y=1．∴點M的坐標為（0，1）．

設直線MA的表達式為y=kx+b，則 ．

解得 ．

∴直線MA的表達式為y= x+1．

設點D的坐標為（ ），則點F的坐標為（ ）．

DF=

= ．

當 時，DF的最大值為 ．

此時 ，即點D的坐標為（ ）

（3）解：存在點P，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似．設P（m， ）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限．

①設點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3AN，

∴ ，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此時滿足條件的點不存在．

②當點P在第三象限時，∵點P不可能在直線MA上，∴只能PN=3AN，

∴ ，即m2+11m+24=0．

解得m=﹣3或m=﹣8．此時點P的坐標為（﹣8，﹣15）．

③當點P在第四象限時，若AN=3PN時，則﹣3 ，即m2+m﹣6=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=2．

當m=2時， ．此時點P的坐標為（2，﹣ ）．

若PN=3NA，則﹣ ，即m2﹣7m﹣30=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=10，此時點P的坐標為（10，﹣39）．

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（﹣8，﹣15）、（2，﹣ ）、（10，﹣39）．

【解析】（1）把點A、B、C的坐標分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組 ，通過解該方程組即可求得系數(shù)的值；（2）由（1）中的拋物線解析式易求點M的坐標為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關(guān)系式為y= x+1．由題意設點D的坐標為（ ），則點F的坐標為（ ）．易求DF= = ．根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求線段DF的最大值；（3）需要對點P的位置進行分類討論：點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況．此題主要利用相似三角形的對應邊成比例進行解答．