【題目】已知四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn),DECF交于點(diǎn)G

(1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證;

(2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),使得成立?并證明你的結(jié)論;

3)如圖③,若BA=BC=4,DA=DC=6,∠BAD90°,DECF,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.

【答案】(1)(2)見(jiàn)解析;(3)

【解析】分析:(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠A=FDC=90°,求出∠CFD=AED,證出AED∽△DFC即可;

(2)當(dāng)∠B+EGC=180°時(shí),成立,證DFG∽△DEA,得出,證CGD∽△CDF,得出,即可得出答案;

(3)過(guò)CCNADN,CMABAB延長(zhǎng)線(xiàn)于M,連接BD,設(shè)CN=x,BAD≌△BCD,推出∠BCD=A=90°,證BCM∽△DCN,求出CM=,在RtCMB中,由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,代入得出方程(x-4)2+(2=42,求出CN=,證出AED∽△NFC,即可得出答案.

(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=ADC=90°.

∴∠ADE+CDE=90°.

DECF,∴∠DCF+CDE=90°.

∴∠ADE=DCF.

∴△ADE∽△DCF,

(2)當(dāng)∠B+EGC=180°時(shí),成立.

證明如下:在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)M,使CM=CF,則∠CMF=CFM.

ABCD,ADBC,∴∠A=CDM. ,CFM=FCB.

∵∠B+EGC=180°,∴∠FCB+BEG=180°.

∵∠AED+BEG=180°,∴∠AED=FCB.

∴∠CMF=AED.

∴△ADE∽△DCM.

.即

(3)

過(guò)CCNADN,CMABAB延長(zhǎng)線(xiàn)于M,連接BD,設(shè)CN=x,

∵∠BAD=90°,即ABAD,

∴∠A=M=CNA=90°,

∴四邊形AMCN是矩形,

AM=CN,AN=CM,

∵在BADBCD中,

∴△BADBCD(SSS),

∴∠BCD=A=90°,

∴∠ABC+ADC=180°,

∵∠ABC+CBM=180°,

∴∠MBC=ADC,

∵∠CND=M=90°,

∴△BCM∽△DCN,

,

CM=,

RtCMB中,CM=,BM=AM-AB=x-4,由勾股定理得:BM2+CM2=BC2,

(x-4)2+(2=42,

x=0(舍去),x=,

CN=

∵∠A=FGD=90°,

∴∠AED+AFG=180°,

∵∠AFG+NFC=180°,

∴∠AED=CFN,

∵∠A=CNF=90°,

∴△AED∽△NFC,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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