Question

17．拋物線y=ax²-2ax+m經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），與x軸另一交點(diǎn)為B，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且S_△CAB=6
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在y軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)M，使△AMC的面積為9，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B的坐標(biāo)為（x，0），由根與系數(shù)關(guān)系得出-1+x=2，求出B（3，0），得出AB=1+3=4，由S_△CAB求出OC=3，得出C（0，-3），把A和C坐標(biāo)代入拋物線得出方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），由△AMC的面積=梯形ADEM的面積-△ACD的面積-△CEM的面積得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）設(shè)B的坐標(biāo)為（x，0），
∵拋物線y=ax²-2ax+m，A（-1，0），
當(dāng)y=0時(shí)，ax²-2ax+m=0，
∴-1+x=2，
∴x=3，
∴B（3，0），
∴AB=1+3=4，
∵S_△CAB=$\frac{1}{2}$×4•×OC=6，
∴OC=3，
∴C（0，-3），
把A（-1，0）和C（0，-3）代入拋物線y=ax²-2ax+m得：$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=1，m=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），分別過點(diǎn)A、M作y軸的平行線，過C作x軸的平行線，交前面平行線于D、E，連接AM，如圖所示：則△AMC的面積=梯形ADEM的面積-△ACD的面積-△CEM的面積=$\frac{1}{2}$（3+x²-2x-3+3）（1+x）-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$x（x²-2x-3+3）=9，
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{73}}{2}$（負(fù)值舍去），
∴x²-2x-3=$\frac{33-3\sqrt{73}}{2}$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{-1+\sqrt{73}}{2}$，$\frac{33-3\sqrt{73}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、根與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、三角形面積的計(jì)算方法；求出拋物線的解析式是解決問題的關(guān)鍵．