Question

5．等腰梯形ABCD既有內(nèi)切圓，也有外接圓，其內(nèi)切圓半徑r=3cm，∠B=60°，則其外接圓半徑R=2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓計算出高EG和ED、CG的長，在等腰梯形ABCD的外接圓中連接半徑，構(gòu)建兩個直角三角形，設(shè)QG=x，利用同圓的半徑QD=QC，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，最后利用勾股定理求出外接圓的半徑．

解答 解：如圖1，設(shè)⊙O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，與邊AD、DC的切點分別為E、H，連接OE、OG、OD、OH，則OE⊥AD，OG⊥BC，OH⊥CD，
∴∠OED=∠OHD=90°，
∵AD∥BC，
∴E、O、G三點共線，∠ADC+∠C=180°，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠ADC=120°，
∵OD=OD，OE=OH，
∴△OED≌△OHD，
∴∠ODE=∠ODH=60°，
∵OE=3，
∴ED=$\sqrt{3}$，
過D作DM⊥BC于M，則DM=EG=6，
在Rt△DMC中，∠C=60°，
∴MC=2$\sqrt{3}$，
∴GC=GM+MC=3$\sqrt{3}$，
如圖2，⊙Q是等腰梯形ABCD的外接圓，由題意可知：Q在EG上，
連接QD、QC，
設(shè)QG=x，則QE=6-x，
由勾股定理得：（$\sqrt{3}$）²+（6-x）²=（3$\sqrt{3}$）²+x²，
解得：x=1，
∴QC=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，
則等腰梯形ABCD的外接圓半徑為2$\sqrt{7}$．

點評 本題既考查了等腰梯形的性質(zhì)，也考查了多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)；熟練掌握：①等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過上下底的中點的直線；②等腰梯形同一底上的兩個角相等；并在60°的直角三角形，利用特殊的三角函數(shù)值求直角邊和斜邊的長．