Question

在直角坐標系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）為頂點的正方形，設正方形在直線y₁=x上方及直線y₂=-x+2a上方部分的面積為S，
（1）當a=

1

2

時，求S的值；
（2）當a=0時，將兩直線繞著原點O順時針旋轉20°，求S的值；
（3）a在實數范圍內變化時，求S關于a的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）當a=

1

2

時，可得y₂=-x+1，再根據三角形面積公式即可求解；
（2）根據旋轉的性質可知S的值等于大正方形面積的

1

4

；
（3）分①當a＜-1時；②當-1≤a＜0時；③當0≤a＜1時；④當a≥1時；四種情況討論可求S關于a的函數關系式．

解答：解：（1）當a=

1

2

時，y₂=-x+1，
如圖1．
直線y₁=x與直線y₂=-x+1的交點是E（

1

2

，

1

2

），
S=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；

（2）當a=0時，y₂=-x，
S=

1

2

×

1

2

=

1

4

；

（3）①當a＜-1時，如圖2，
△ADC的面積是S，
S=

1

2

×2×2=2；
②當-1≤a＜0時，如圖3，
直線y=x與y=-x+2a的交點是E（a，a），
EG=（1-|a|）=1+a，
AF=2（1+a），
S=S_△ADC-S_△AEF
=2-

1

2

（1+a）×2（1+a）
=2-（1+a）²；
③當0≤a＜1時，如圖4，
直線y=x與y=-x+2a的交點是E（a，a），
EG=1-a，
CF=2（1-a），
S=S_△CEF=

1

2

（1-a）×2（1-a）=（1-a）²；
④當a≥1時，如圖5，S=0．
∴S關于a的函數關系式為：
①當a＜-1時，S=2；②當-1≤a＜0時，S=2-（1+a）²；③當0≤a＜1時，S=（1-a）²；④當a≥1時，S=0．

點評：本題考查了一次函數綜合題，涉及的知識點有：圖形的面積計算，旋轉的性質，分類思想的運用，難度中等．