Question

2．如圖，在?ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中線(xiàn)．
（1）用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出△ABC的高CH（保留畫(huà)圖痕跡）；
（2）求△ACE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接BD，BD與AE交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)到AB，與AB交于點(diǎn)H，則CH為△ABC的高；
（2）首先由三線(xiàn)合一，求得AH的長(zhǎng)，再由勾股定理求得CH的長(zhǎng)，繼而求得△ABC的面積，又由AE是△ABC的中線(xiàn)，求得△ACE的面積．

解答 解：（1）如圖，連接BD，BD與AE交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)到AB，則它與AB的交點(diǎn)即為H．
理由如下：
∵BD、AC是?ABCD的對(duì)角線(xiàn)，
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∵AE、BO是等腰△ABC兩腰上的中線(xiàn)，
∴AE=BO，AO=BE，
∵AB=BA，
∴△ABO≌△BAE（SSS），
∴∠ABO=∠BAE，
△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，
∵∠BAC=∠ABC，
∴∠EAC=∠OBC，
由$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠EAC=∠OBC}\\{FA=FB}\end{array}\right.$可得△AFC≌BFC（SAS）
∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC頂角平分線(xiàn)，
所以CH是△ABC的高；

（2）∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵AE是△ABC的中線(xiàn)，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形中線(xiàn)的性質(zhì)．注意三角形的中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩部分．